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Vitor Wilher

Modelos SARIMA

By | Comentário de Conjuntura

Modelos SARIMA são modelos da classe de modelos univariados de séries temporais. O acrônimo SARIMA significa modelos AutoRegressivos Integrados de Médias Móveis com Sazonalidade. São modelos bastante úteis para gerar previsão de séries temporais quando, em geral, não estão disponíveis variáveis preditoras. O aspecto mais interessante desse tipo de abordagem é justamente colocar a parte sazonal da série dentro do modelo.

Um processo autorregressivo de ordem p pode ser representado como

(1)   \begin{equation*} y_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem L^{k}y_{t} = y_{t-k} como

(2)   \begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = \beta_{0} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

Ou ainda em notação polinomial

(3)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \varepsilon_{t}  \end{equation*}

Onde c=\beta_{0}.  Abaixo simulamos alguns processos autorregressivos de ordem 1 no R, com diferentes valores para \beta_{1}.

Considerando, assim, um processo AR(1), como

(4)   \begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

teremos um \emph{ruído branco} quando \beta_{1} = 0, um \emph{passeio aleatório} quando \beta_{1} = 1 e c=0 ou, quando c \neq 0, um \emph{passeio aleatório com drift}. Analogamente, podemos representar um processo de média móvel MA(q) como

(5)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}  \end{equation*}

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem, como

(6)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Ou ainda em notação polinomial

(7)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Utilizando o mesmo código acima, a propósito, podemos gerar alguns processos MA(1), modificando apenas o valor de \theta_{1}. Ademais, como vimos, podemos combinar as equações 1 e 5, construindo assim um processo ARMA(p,q), que pode ser representado como

(8)   \begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}  \end{equation*}

Onde, novamente, c=\beta_{0}. Alternativamente, utilizando o operador defasagem

(9)   \begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = c + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Ou ainda, em notação polinomial

(10)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Podemos, enfim, generalizar nossa análise para um modelo ARIMA(p,d,q), onde d será a ordem de integração do processo. Ele pode ser representado em termos de notação polinomial como

(11)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)(1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

A equação 11 faz referência aos modelos ARIMA não sazonais. Os modelos ARIMA também são capazes de modelar uma ampla gama de dados sazonais. Um modelo ARIMA sazonal é formado pela inclusão de termos sazonais adicionais, na forma ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)_m, onde o segundo componente faz referência à parte sazonal e m significa o número de períodos por estação. Em termos formais,

(12)   \begin{equation*} \phi_{P}(L^s) \beta_{p}(L) (1 - L^s)^D (1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L) \Theta_{Q} (L^s) \varepsilon_{t}  \end{equation*}

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Medindo o efeito das Commodities sobre a inflação brasileira

By | Comentário de Conjuntura

O período da pandemia tem sido marcado por diversos choques que têm afetado a economia mundial. Em particular, o mundo assiste a um avanço bastante forte nos preços das commodities, inclusive as da área de energia, que são utilizadas como insumo em diversas cadeias produtivas. Um dos efeitos mais nítidos desse aumento nas commodities é o avanço da inflação na maior parte dos países. Nesse Comentário de Conjuntura, buscamos verificar o impacto das commodities na chamada inflação de preços livres no Brasil a partir da estimação de uma Curva de Phillips aos moldes do que faz o Banco Central em seu modelo de pequeno porte.

O objetivo do exercício será estimar uma forma reduzida da Curva de Phillips do Modelo Semiestrutural de Pequeno Porte do BCB, conforme descrito abaixo:

(1)   \begin{align*} \pi_t^{livres} = \sum_{i>0} \beta_{1i} E_t \pi^{total}_{t+i} +\sum_{j>0} \beta_{2j} \pi^{total}_{t-j} +\sum_{k \geq 0} \beta_{3k} \pi^{importada}_{t-k} + \sum_{l>0} \beta_{4l} hiato_{t-l} + \sum_{m = 1}^4 D_m + \epsilon_t  \end{align*}

com a imposição da restrição de verticalidade de longo prazo:

(2)   \begin{align*} \sum_{i>0} \beta_{1i} +\sum_{j>0} \beta_{2j} +\sum_{k \geq 0} \beta_{3k} = 1 \end{align*}

Basicamente, a inflação dos preços livres é uma função linear da inflação passada, das expectativas de inflação, do hiato do produto e da inflação importada, que aqui será captura por um índice de commodities produzido pelo próprio Banco Central.

A reprodução do exercício está disponível para os membros do Clube AM. Uma aula sobre o assunto está disponível no nosso Curso de Macroeconometria usando o R.

Só hoje, 7 de abril, estamos com inscrições abertas para o Clube AM, o espaço de compartilhamento de exercícios da Análise Macro. Faça sua inscrição aqui.

O modelo é estimado via mínimos quadrados em dois estágios, utilizando como instrumentos as defasagens das próprias variáveis. Ademais, foram adicionadas dummies para controlar o overshooting do câmbio no início do governo Lula, outra para o governo Dilma Rousseff e uma última para a pandemia do Covid-19.  A seguir, os resultados do modelo.

 

Curva de Phillips com restrição de verticalidade
Variável Dependente: inflação de preços livres
Expectativa 12 meses 0.20***
(0.04)
IPCA Total(-1) 0.76***
(0.03)
IC(-1) 0.04**
(0.01)
Hiato(-1) 0.04
(0.02)
DLula -2.58***
(0.50)
DDilma -1.57*
(0.71)
DCovid 1.70**
(0.53)
Q1 -0.49*
(0.20)
Q2 -1.05***
(0.20)
Q3 -1.18***
(0.21)
eq1: R2 0.62
eq1: Adj. R2 0.57
Num. obs. (total) 75
***p < 0.001; **p < 0.01; *p < 0.05

A amostra contém dados trimestrais que vão desde o quarto trimestre de 2002 até o último trimestre de 2021. Nesse período, o modelo acima mostra que uma variação de 10% na inflação importada, medida pelo Índice de Commodities do Banco Central brasileiro, tem impacto de 0,4 p.p. dentro do trimestre, controlando para as variáveis em relevo.

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Evolução dos preços de combustíveis no Brasil

By | Comentário de Conjuntura

No Comentário de Conjuntura da semana passada, chamei atenção para a relação entre o preço do petróleo no mercado internacional e o preço da gasolina aqui no Brasil. Em particular, mostrei que as séries de petróleo, seja o tipo Brent, seja o WTI, são séries bastante voláteis ao longo do tempo. Dada a paridade adotada pela Petrobras desde 2016, ocorre uma correlação que implica em causalidade na relação entre esses preços.

Nesse Comentário, contudo, gostaria de mostrar a evolução dos preços de combustíveis como um todo, já que não nos parece que exista um aumento particular apenas para a gasolina.

Os dados de combustíveis são agregados e disponibilizados pela Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP). Existe uma divulgação semanal e outra mensal sobre o preço da gasolina, diesel, GNV, GLP, etanol e suas variações.

O código que coleta e trata esses dados diretamente da ANP está disponível para os Membros do Clube AM. O tratamento envolve, basicamente, deflacionar esses preços, dado que os mesmos estão disponíveis nominalmente. Para esse exercício, utilizamos o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), coletado no SIDRA/IBGE.

Uma vez cumprida essas etapas, podemos construir um gráfico como abaixo.

A análise dessa base de dados tratada nos permite dizer que houve um choque pós-pandemia bastante forte nos preços de todos os combustíveis. Em particular, salta aos olhos a evolução do GLP, cujo efeito é direto sobre as famílias mais pobres.

Por óbvio, essa é uma base de dados que exibe uma correlação bastante alta e positiva entre os seus elementos, como mostra o gráfico acima. É surpreendente, porém, que os combustíveis que mais afetam os mais pobres, como o GNV e o óleo diesel, sejam relegados a segundo plano, seja por analistas, seja pela imprensa.

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(*) Conheça nosso Curso de Análise de Conjuntura e aprenda a coletar, tratar e visualizar dados macroeonômicos.

Volatilidade do petróleo e preço da gasolina no Brasil

By | Comentário de Conjuntura

Desde 2016, a Petrobras corrige o preço doméstico da gasolina com base no que ocorre com o preço do barril do petróleo. Com efeito, desde então, naturalmente, observamos um aumento da correlação entre os preços. Nesse Comentário de Conjuntura, avaliamos a volatilidade do petróleo e sua relação com o preço de revenda da gasolina.

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo e a volatilidade de ativos é talvez a medida de risco mais utilizada. Ainda que a volatilidade seja bem definida, ela não é diretamente observada na prática. Nós observamos os preços dos ativos e seus derivativos. A volatilidade deve ser, então, estimada com base nesses preços observados.

Ainda que a volatilidade não seja diretamente observada, ela apresenta algumas características comuns associadas aos retornos dos ativos. Listamos abaixo algumas delas:

  • A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura chama de volatility clusters;
  • A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que saltos não são comuns;
  • A volatilidade costuma variar em um intervalo fixo;
  • A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.

Essas características implicam que, de modo geral, a volatilidade é uma série estacionária. Ademais, essas características determinam a forma como os modelos serão construídos. De fato, alguns modelos de volatilidade são formatados justamente para corrigir a inabilidade dos atualmente existentes em capturar algumas das características mencionadas acima. Na prática, estima-se a volatilidade de um ativo com base nos seus preços ou derivativos. Tipicamente, três tipos de volatilidade são consideradas:

  • Volatilidade como o desvio-padrão condicional dos retornos diários, a base do que veremos nessa seção;
  • Volatilidade implícita, obtida a partir de fórmulas de precificação (como Black-Scholes), com base nos preços do mercado de opções, é possível deduzir a volatilidade do preço da ação. Um exemplo desse tipo de procedimento é o VIX Index;
  • Volatilidade realizada, obtida com base em dados financeiros de alta frequência, como, por exemplo, retornos intraday de 5 minutos.

No gráfico acima, nós estimamos a volatilidade do preço do petróleo tipo brent com base em um modelo GARCH, que é visto no nosso Curso de Econometria Financeira. Como é possível observar, a série apresenta alguns picos de volatilidade ao longo da série, uma série diária bastante longa, inclusive.

Os preços do petróleo, sejam do tipo brent ou wti, de fato, oscilam bastante ao longo do tempo. O gráfico acima ilustra a trajetória diária desses preços. Essa oscilação tem sido particularmente relevante desde o início dos anos 2000, como pode ser visto no gráfico acima. Em particular, no período recente, existe um movimento de recuperação do preço do barril, correlacionado ao choque provocado pela pandemia. A seguir, vemos os preços mensalizados.

Essa correção do barril foi, como esperado, repassada para o preço doméstico da gasolina. O gráfico abaixo ilustra o comportamento do preço de revenda do combustível, divulgado pela ANP.

A correlação entre o preço da gasolina e o preço do barril de petróleo, em ambos os tipos, diga-se, tem aumentado fortemente com a adoção da paridade imposta pela estatal brasileira.

Essa correlação, diga-se, implica em causalidade no sentido do preço do petróleo para o preço da gasolina, como é possível ver no código desse Comentário, disponível para os membros do Clube AM.

 

A guerra de Putin e o juro neutro no Brasil

By | Comentário de Conjuntura

Qual o efeito da guerra da Ucrânia sobre o Brasil? É uma pergunta direta que inibe maiores julgamentos sobre o conflito em si, que é dramático em diversos aspectos, principalmente sob o ponto de vista humano. Mas e esse país sul-americano, ensolarado, ainda em clima de carnaval, que não foi carnaval, mas foi carnaval, o que tem a ver com isso? Tudo. E nada. Sobre a primeira parte, vamos colher mais inflação, para começo de conversa.

Os agentes do mercado, inclusive, já ajustaram suas expectativas. Espera-se agora uma inflação de 5,6% em 2022, ante 5,15% há quatro semanas. Lembro o leitor que a meta de inflação esse ano é de 3,5%. Ou seja, estamos distantes de convergir, independente, inclusive, do que o nosso último soldado no front, o banco central, faça.

O conflito na Ucrânia faz aumentar os preços de commodities, já que a Rússia é um dos grandes players do mercado. A energia que já estava cara no mundo todo e tem sido um dos princípios componentes da onda inflacionária que vivemos, vai ficar ainda mais cara. O efeito líquido disso é mais inflação importada para o Brasil, principalmente pelo aumento do petróleo e seu repasse para a gasolina. Mas também sofrem os preços de agro, como o trigo, por exemplo.

Parece que vamos repetindo, de maneira sombria, o período de 1918-19, quando tivemos um conflito em escala mundial, a primeira grande guerra, seguida de uma pandemia, a gripe espanhola. Dueto que dizimaria mais de 70 milhões de pessoas, quase 4% da população mundial.

Uma guerra é sempre ruim, obviamente, mas o momento, diga-se, não poderia ser pior para o Brasil. Vivemos um período de aumento do juro de equilíbrio da economia - o famoso juro neutro - dadas as peripécias fiscais em curso, que acabaram por fazer falecer o teto de gastos. Com efeito, ao que parece, o Banco Central vai precisar continuar sua escalada de juros, ainda que isso pareça contraproducente em termos de nível de atividade.

Funciona assim. O Banco Central controla um instrumento limitado, a taxa nominal de juros, a Selic. A partir dela, descontada alguma expectativa de inflação, se forma o juro real. A diferença entre o juro real e o juro de equilíbrio é o que vai dar o efeito sobre o nível de atividade, resfriando a economia, acalmando a inflação. Essa diferença entre o juro real e o juro neutro é o que torna a política monetária expansionista ou contracionista.

O gráfico acima ilustra a luta do Banco Central em empinar o juro real desde 2021. Mas essa luta ocorre de forma simultânea ao aumento do juro de equilíbrio.

E por que o juro de equilíbrio está aumentando?

Por partes. Primeiro, é preciso dizer que a ideia de juro de equilíbrio ou juro neutro é uma coisa muito particular dos economistas. Ela não é observada na natureza, nós precisamos estimar. Existem algumas formas de fazer isso. A medida que coloquei no gráfico acima é basicamente derivada do que os agentes consultados pelo Banco Central no boletim Focus esperam para os juros reais daqui a três anos. Como no Brasil, três anos é longuíssimo prazo, isso pode ser considerado uma medida de juro de equilíbrio da economia.

Mas há outras formas de medir o juro de equilíbrio. Abaixo, coloco o juro extraído da NTN-B 2050, um dos títulos mais longos que temos nessas terras.

Mesmo controlando pela tendência, observa-se um aumento na margem desses juros, o que dá um cheiro de que realmente as coisas não vão bem. Isto é, o juro de equilíbrio parece mesmo se mover nos últimos anos. E se mover para cima, tornando o trabalho do Banco Central em controlar a inflação mais difícil.

E o que explica, então, o juro de equilíbrio? De novo, aqui, há várias respostas possíveis. Tomei o caminho de construir o modelo abaixo e tentar explicar esse tal juro neutro com algumas covariáveis.

(1)   \begin{align*} \bar{r_t} = \beta_0 + \beta_1 r_t^{*} + \beta_2 \gamma_t + \beta_3 \tau_t + \beta_4 D_{Teto} + \varepsilon_t,  \end{align*}

onde D_{Teto} é uma dummy que assume 1 de dezembro de 2016 a outubro de 2021 e 0 caso contrário. \varepsilon_t é supostamente um *ruído branco*. Para estimar 1, vamos utilizar uma amostra entre janeiro de 2004 e janeiro de 2022, totalizando 217 observações. Vamos considerar como proxy para o juro neutro, o juro estrutural implícito nas expectativas do boletim Focus. O juro internacional será representado pela taxa de juros efetiva praticada nos Estados Unidos (fed funds), para o risco país vamos considerar o EMBI+ e para o risco cambial vamos considerar o cupom cambial, que leva em consideração a expectativa de desvalorização/valorização cambial dos agentes. Ademais, para estimar 1, vamos considerar o método de mínimos quadrados ordinários (OLS), mínimos quadrados em dois estágios (TSLS) e o método dos momentos generalizado (GMM). A tabela a seguir ilustra os resultados do modelo.

 

Explicando o juro neutro da economia brasileira
Variável Dependente: Juro Neutro
OLS TSLS GMM
(1) (2) (3)
Intercepto 3.08*** (0.20) 2.97*** (0.24) 3.76*** (0.44)
Juro Internacional 0.40*** (0.03) 0.40*** (0.04) 0.40*** (0.14)
Risco País 0.01*** (0.001) 0.01*** (0.001) 0.004*** (0.001)
Risco Cambial 0.01 (0.02) 0.01 (0.02) 0.01 (0.01)
DTeto -1.84*** (0.13) -1.83*** (0.13) -1.50*** (0.38)
J-Test 10.36
J-Test (p-valor) 0.32
Observations 217 213 213
R2 0.72 0.71
Adjusted R2 0.71 0.70
Residual Std. Error 0.79 (df = 212) 0.80 (df = 208)
F Statistic 133.79*** (df = 4; 212) 126.27*** (df = 4; 208)
Nota: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

O modelo mostra que a dummy do Teto captura um efeito de redução do juro de equilíbrio. Em muito sentido, diga-se, essa dummy representa boa parte do reformismo feito ao longo dos anos de 2016-19, o que gera um juro de equilíbrio menor. O aumento do risco-país, por um lado, representando as peripécias fiscais e de outro, o abandono do teto de gastos no ano passado vão na direção de um juro de equilíbrio maior para a economia, ponto que já falei outras vezes aqui nesse comentário de conjuntura.

Em assim sendo, a onda inflacionária que assola o mundo e parece não ter fim pega o Brasil desprevenido. A conjuntura doméstica converge para um juro maior, o que prejudica sobremaneira o trabalho de contenção da autoridade monetária. Para criar uma área de política monetária contracionista no gráfico acima, o Banco Central vai ter que dar mais juro real para a economia e manter esse juro por ali.

Dada a fragilidade do PIB e do mercado de trabalho, essa é uma péssima notícia.

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(*) O código completo do exercício está disponível para os membros do Clube AM.

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