Comentário de Conjuntura

Modelos SARIMA

By 12 de maio de 2022 No Comments

Modelos SARIMA são modelos da classe de modelos univariados de séries temporais. O acrônimo SARIMA significa modelos AutoRegressivos Integrados de Médias Móveis com Sazonalidade. São modelos bastante úteis para gerar previsão de séries temporais quando, em geral, não estão disponíveis variáveis preditoras. O aspecto mais interessante desse tipo de abordagem é justamente colocar a parte sazonal da série dentro do modelo.

Um processo autorregressivo de ordem p pode ser representado como

(1)   \begin{equation*} y_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem L^{k}y_{t} = y_{t-k} como

(2)   \begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = \beta_{0} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

Ou ainda em notação polinomial

(3)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \varepsilon_{t}  \end{equation*}

Onde c=\beta_{0}.  Abaixo simulamos alguns processos autorregressivos de ordem 1 no R, com diferentes valores para \beta_{1}.

Considerando, assim, um processo AR(1), como

(4)   \begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{equation*}

teremos um \emph{ruído branco} quando \beta_{1} = 0, um \emph{passeio aleatório} quando \beta_{1} = 1 e c=0 ou, quando c \neq 0, um \emph{passeio aleatório com drift}. Analogamente, podemos representar um processo de média móvel MA(q) como

(5)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}  \end{equation*}

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem, como

(6)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Ou ainda em notação polinomial

(7)   \begin{equation*} y_{t} = \mu + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Utilizando o mesmo código acima, a propósito, podemos gerar alguns processos MA(1), modificando apenas o valor de \theta_{1}. Ademais, como vimos, podemos combinar as equações 1 e 5, construindo assim um processo ARMA(p,q), que pode ser representado como

(8)   \begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}  \end{equation*}

Onde, novamente, c=\beta_{0}. Alternativamente, utilizando o operador defasagem

(9)   \begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = c + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Ou ainda, em notação polinomial

(10)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

Podemos, enfim, generalizar nossa análise para um modelo ARIMA(p,d,q), onde d será a ordem de integração do processo. Ele pode ser representado em termos de notação polinomial como

(11)   \begin{equation*} \beta_{p}(L)(1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t}  \end{equation*}

A equação 11 faz referência aos modelos ARIMA não sazonais. Os modelos ARIMA também são capazes de modelar uma ampla gama de dados sazonais. Um modelo ARIMA sazonal é formado pela inclusão de termos sazonais adicionais, na forma ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)_m, onde o segundo componente faz referência à parte sazonal e m significa o número de períodos por estação. Em termos formais,

(12)   \begin{equation*} \phi_{P}(L^s) \beta_{p}(L) (1 - L^s)^D (1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L) \Theta_{Q} (L^s) \varepsilon_{t}  \end{equation*}

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