Implementando regressões simples no R

Regredir um variável $x$ contra uma variável $y$ é um poderoso recurso estatístico. De modo a explicar o método, suponha que estamos interessados em estimar os parâmetros populacionais $\beta_0$ e $\beta_1$ de um modelo de regressão simples

(1) $\begin{align*} y = \beta_0 + \beta_1 x + u \end{align*}$

a partir de uma amostra aleatória de $y$ e $x$ . Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) serão

(2) $\begin{align*} \hat{\beta}_0 &= \hat{y} - \hat{\beta_1} \bar{x} \\ \hat{\beta_1} &= \frac{Cov(x,y)}{Var{x}}. \end{align*}$

Baseado nos parâmetros estimados, a reta de regressão será

(3) $\begin{align*} \hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x. \end{align*}$

Para uma dada amostra, nós precisaremos calcular as quatro estatísticas $\bar{y}$ , $\bar{x}$ , $Cov(x,y)$ e $Var(x)$ e colocá-las nessas equações. Para ilustrar, vamos considerar o exemplo 2.3 de Wooldridge (2013) sobre Salários de CEOs e Retornos sobre o patrimônio. Para isso, considere o seguinte modelo

(4) $\begin{align*} salary = \beta_0 + \beta_1 roe + u \end{align*}$

onde $salary$ é o salário anual de CEO em milhares de dólares e $roe$ é o retorno médio sobre o patrimônio em percentual. O parâmetro $\beta_1$ irá medir a variação no salário anual quando o retorno médio sobre o patrimônio aumentar em um ponto percentual. Para estimar esse modelo, podemos utilizar o conjunto de dados ceosal1. Podemos dar uma olhada nas variáveis do conjunto de dados cesal1 a partir do pacote wooldridge como abaixo.


data(ceosal1, package='wooldridge')
attach(ceosal1)

Uma vez que tenhamos carregado o conjunto de dados, podemos calcular manualmente os parâmetros $\beta_0$ e $\beta_1$ , como abaixo.


# Cálculo manual dos parâmetros
b1hat = cov(roe,salary)/var(roe)
b0hat = mean(salary) - b1hat*mean(roe)

Isto é, a reta de regressão será dada por

(5) $\begin{align*} \hat{salary} = 963,191 + 18,501 * roe \end{align*}$

o que pode ser facilmente obtido com o código abaixo:


lm(salary ~ roe)

Implicando que para um $roe = 0$ , teremos um salário previsto de 963,19 ou US$ 963.191, que é o intercepto. Ademais, se $\Delta roe = 1$ , então $\Delta salary$ = 18,5 ou US$ 18.501. Podemos, por fim, desenhar a reta de regressão com o código abaixo.


CEOregress = lm(salary ~ roe)
plot(roe, salary, ylim=c(0,4000))
abline(CEOregress, col='red')

Vamos continuar nossa revisão de modelos de regressão simples com o conjunto de dados wage1. Estamos interessados agora em estudar a relação entre educação e salários, de modo que o nosso modelo de regressão será

(6) $\begin{align*} wage = \beta_0 + \beta_1 education + u. \end{align*}$

O que pode ser obtido com o código abaixo.


modelo = lm(wage ~ educ, data=wage1)
modelo

Isto é, teremos a seguinte reta de regressão

(7) $\begin{align*} \hat{wage} = -0,9 + 0,54 * education \end{align*}$

de modo que um ano adicional de estudo implica em mais 54 centavos à hora de trabalho. O objeto obtido com a função lm contém todas as informações relevantes de uma regressão. Abaixo, acessamos os elementos do objeto CEOregress:


names(CEOregress)
CEOregress$coefficients

Podemos obter os valores ajustados:


plot(CEOregress$fitted.values)

E os resíduos:


plot(CEOregress$residuals)

Por fim, podemos ainda obter um sumário de todas as estatísticas relevantes da regressão com a função abaixo.


summary(CEOregress)

O que podemos gerar como tabela com o pacote stargazer como abaixo.


	Dependent variable:

	salary

roe	18.501^*
	(11.123)

Constant	963.191^***
	(213.240)


Observations	209
R²	0.013
Adjusted R²	0.008
Residual Std. Error	1,366.555 (df = 207)
F Statistic	2.767^* (df = 1; 207)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

Gostou? Isso e muito mais você aprende em nosso Curso de Introdução à Econometria usando o R.

__________________

(*) Wooldridge, J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Editora Cengage, 2013.

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