Como reverter a primeira diferença de uma série temporal?

Modelagem de séries temporais frequentemente exige a aplicação de transformações nas variáveis, tal como a bem conhecida primeira diferença. Formalmente, podemos descrever essa transformação como:

Ou seja, dado uma série temporal regularmente espaçada, subtraímos do valor em t o valor anterior (t-1), obtendo a série dita "na primeira diferença" ou "nas diferenças".

A mudança de nível da série geralmente contorna diversas características "não desejadas" pelo analista como tendência, sazonalidade, etc., mas dificulta a interpretação dos valores - especialmente quando pretende-se comunicá-los para públicos não técnicos. Para este objetivo é de grande utilidade saber como diferenciar uma série temporal e, sobretudo, também como reverter a transformação.

Para reverter a primeira diferença de uma série utilizamos a soma cumulativa, representada como:

Ou seja, no final teremos um vetor com a soma de cada valor em t com todos os anteriores, valores estes que neste caso podem representar a série na primeira diferença que se deseja reverter.

Exemplo no R

Para exemplificar, vamos aplicar um exercício simples no R com o objetivo de 1) tomar a primeira de uma série e 2) reverter a transformação para obter a série original.

Para esse exemplo você precisará dos seguintes pacotes:

library(magrittr) # CRAN v2.0.1
library(GetBCBData) # CRAN v0.6
library(dplyr) # CRAN v1.0.7
library(timetk) # CRAN v2.6.2
library(tsibble) # CRAN v1.0.1
library(tidyr) # CRAN v1.1.4

Utilizaremos uma série conhecidamente não estacionária: a taxa de câmbio (R$/US$). Primeiro, importamos a série diretamente do banco de dados do Banco Central (SGS/BCB) e tratamos os dados para obter um tibble:

dados <- GetBCBData::gbcbd_get_series(
id = 3696,
first.date = "2000-01-01",
use.memoise = FALSE
) %>%
dplyr::select("date" = "ref.date", "value") %>%
dplyr::as_tibble()
dados

timetk::plot_time_series(
.data = dados,
.date_var = date,
.value = value,
.smooth = FALSE,
.title = "Taxa de câmbio (R$/US$)"
)

dados %<>%
dplyr::mutate(value_diff = tsibble::difference(value))
dados

dados %<>%
dplyr::mutate(
value_diff = dplyr::if_else(is.na(value_diff), value, value_diff),
value_revert = cumsum(value_diff)
)
dados

all.equal(dados$value_revert, dados$value)

dados %>%
dplyr::select(
"date",
"Nível" = "value",
"1ª diferença" = "value_diff",
"Série revertida" = "value_revert"
) %>%
tidyr::pivot_longer(
cols = -"date",
names_to = "variable"
) %>%
timetk::plot_time_series(
.date_var = date,
.value = value,
.facet_vars = variable,
.smooth = FALSE,
.title = "Taxa de câmbio (R$/US$)",
.interactive = FALSE
)