Quais modelos podem ser utilizados para a previsão de séries temporais? No post, vemos a porta de entrada para compreender esse assunto, compreendendo a regressão linear de séries temporais e o alisamento exponencial.
Séries temporais são dados que são coletados ao longo do tempo, geralmente em intervalos regulares, e incluem informações sobre como esses dados mudam ao longo do tempo. Existem diversos tipos de modelos que tratam do uso desses tipos dados, veremos alguns deles a seguir.
Regressão Linear de Séries Temporais
A regressão linear de séries temporais é uma abordagem estatística que permite modelar a relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes, utilizando equações lineares. Essa técnica é particularmente útil quando se deseja prever valores futuros da série temporal com base em valores passados.
Regressão Linear Simples
No caso mais simples, o modelo de regressão permite uma relação linear entre a variável de previsão y e uma única variável preditora x.
Os coeficientes 
e 
denotam a interceptação e a inclinação da linha, respectivamente. A interceptação representa o valor previsto de y quando x = 0. A inclinação 
representa a mudança média prevista em y resultado de um aumento de uma unidade em x.
Podemos pensar que cada observação de 
consiste na parte sistemática ou explicada pelo modelo 
e um termo de erro 
. O termo de erro não implica uma falha, mas um desvio em relação a reta estimada do modelo. Portanto, captura tudo que pode afetar 
além de 
.
Para obter o código de importação do dataset, da construção do modelo e também dos códigos subsequentes, faça parte do Clube AM, o repositório especial da Análise Macro.
Exemplo no R
Vejamos um exemplo no R. Usando o pacote {fpp3}, podemos encontrar diversas séries. No caso abaixo, usamos o dataset us_change que contém as séries de variações trimestrais de variáveis econômicas do EUA.
Podemos realizar um relacionamento entre o Consumo e Renda, plotando o gráfico de linha abaixo.
É possível perceber o relacionamento entre ambas as variáveis. Vamos confirmar usando um modelo de Regressão Linear e criando um gráfico de dispersão com a reta de regressão para compreender o relacionamento.
As estatísticas e o gráfico sugerem que há um forte relacionamento entre as variáveis no tempo.
Regressão Linear Múltipla
Quando há duas ou mais variáveis preditoras, o modelo é chamado de modelo de regressão múltipla. A forma geral de um modelo de regressão múltipla é
(1) 
Onde é a variável a ser prevista e 
. Cada variável necessita ser numérica. Os coeficientes 
mensuram o efeito de cada preditor.
Exemplo no R
Continuando com o exemplo do pacote {fpp3}, us_changes, podemos averiguar não somente o relacionamento entre duas variáveis, mas também de diversas outras. Adicionamos no modelo de regressão as variáveis de Produção, Poupança e Desemprego para compreender os seus efeitos sobre o consumo.
Pelo gráfico e resultado do modelo, compreendemos que há de fato um relacionamento entre as variáveis ao longo dos trimestres.
Exponential Smoothing (Alisamento exponencial)
O alisamento exponencial é uma técnica estatística utilizada para prever valores futuros de uma série temporal, com base em seus valores passados. Essa técnica é especialmente útil quando se deseja prever valores em um horizonte de tempo curto, em que a influência dos valores mais recentes é mais significativa.
O alisamento exponencial funciona aplicando um peso exponencial decrescente aos valores da série temporal. Isso significa que os valores mais recentes têm um peso maior do que os valores mais antigos. O alisamento exponencial também leva em consideração a tendência geral da série temporal e, em alguns casos, a presença de sazonalidades.
Existem diferentes tipos de alisamento exponencial, incluindo o simples, o duplo e o triplo, que variam na quantidade de fatores de ponderação considerados. Cada tipo de alisamento exponencial é adequado para diferentes tipos de séries temporais e objetivos de previsão.
A previsão no tempo t + 1 é igual a média ponderada entre a observação mais recente y_t e a previsão anterior \hat{y_t+1|t}:
,
onde 
é o parâmetro de alisamento para 
Exemplo no R
Podemos construir no R os valores estimados de y do modelo de Alisamento Exponencial utilizando como exemplo as Exportação da a em % do PIB anual. Além de construir os valores ajustados, realizamos a previsão dos valores em 5 anos a frente.
Referências
Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021) Forecasting: principles and practice, 3rd edition, OTexts: Melbourne, Australia. OTexts.com/fpp3. Accessed on 2023-01-18.
