Volatilidade do Ibovespa: GARCH vs. ML

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo, e a volatilidade é talvez a medida de risco mais amplamente utilizada. Dentre as várias técnicas disponíveis para estimar a volatilidade, as técnicas de Aprendizado de Máquina têm se mostrado bastante eficazes em comparação com os métodos convencionais. Neste contexto, analisamos a previsão da volatilidade do Ibovespa utilizando métodos GARCH, SVR (Support Vector Regression) e Redes Neurais, com o Python como ferramenta de análise.

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo, e a volatilidade é talvez a medida de risco mais amplamente utilizada. Dentre as várias técnicas disponíveis para estimar a volatilidade, as técnicas de Aprendizado de Máquina têm se mostrado bastante eficazes em comparação com os métodos convencionais. Neste contexto, analisamos a previsão da volatilidade do Ibovespa utilizando métodos GARCH, SVR (Support Vector Regression) e Redes Neurais, com o Python como ferramenta de análise.

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Características da Volatilidade

Ainda que a volatilidade seja bem definida, ela não é diretamente observada na prática. Nós observamos os preços dos ativos e seus derivativos. A volatilidade deve ser, então, estimada com base nesses preços observados. Ainda, ela apresenta algumas características comuns associadas aos retornos dos ativos. Listamos abaixo algumas delas:

- A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura chama de volatility clusters;

- A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que saltos não são comuns;

- A volatilidade costuma variar em um intervalo fixo;

- A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.

Essas características implicam que, de modo geral, a volatilidade é uma série estacionária. Ademais, essas características determinam a forma como os modelos serão construídos.

De fato, alguns modelos de volatilidade são formatados justamente para corrigir a inabilidade dos atualmente existentes em capturar algumas das características mencionadas acima.

Modelos de Volatilidade

O desvio padrão (volatilidade realizada), uma métrica simples e amplamente adotada para medir a dispersão dos retornos em relação à média, tem suas limitações ao assumir uma distribuição normal dos retornos e ignorar correlações entre períodos. Essa abordagem simplificada não consegue capturar as nuances complexas da volatilidade financeira.

Essa lacuna é evidente devido à presença de heteroscedasticidade condicional nos retornos. A heteroscedasticidade condicional é uma característica comum em séries temporais financeiras, indicando que a volatilidade dos retornos frequentemente manifesta mudanças sistemáticas ao longo do tempo.

A heteroscedasticidade condicional refere-se à presença de volatilidade condicional variável ao longo do tempo em uma série temporal. Em outras palavras, a heteroscedasticidade condicional ocorre quando a variância dos erros de uma série depende das informações disponíveis no tempo anterior.

Por exemplo, nos mercados financeiros, pode-se observar períodos de alta volatilidade seguidos por períodos de baixa volatilidade. Esses padrões na volatilidade são fundamentais para a modelagem e previsão de riscos financeiros.

Os modelos ARCH e GARCH são mais adequados quando se deseja modelar e prever a volatilidade condicional dos retornos, levando em consideração a autocorrelação e a heteroscedasticidade. Métodos como SVR e Redes Neurais permitem também modelar a relação da volatilidade de ativos.

Volatilidade Realizada (Desvio-Padrão)

Criamos a volatilidade realizada através do cálculo do desvio padrão em janelas móveis em 5 dias.

Modelo GARCH

O Modelo GARCH foi proposto por Bollerslev (1986), como uma versão melhorada do modelo ARCH produzido por Engle (1982). Definimos

$a_t = \sqrt{\sigma^2_t} e_t$

onde $e_t$ é uma variável aleatória IID.

Podemos utilizar a distribuição Normal, t-Student, t-student assimétrica, etc.

$\sigma_t^2$ é o processo da variância e possui componente autoregressiva e

dependência de $a^2_t$ .

$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_i a^2_{t-i} + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma^2_{t-i}$

Aqui, $\omega$ representa $\gamma V_l$ , onde $\gamma$ é o peso alocado a taxa de variância de longo prazo $V_l$ , $\alpha$ é o peso alocado a $a^2_{t-1}$ e $\beta$ é peso alocado a $\sigma^2_{t-i}$

Depois que $\omega$ , $\alpha$ e $\beta$ foram estimados, podemos calcular $\gamma$ como $1 - \alpha - \beta$ . A variância de longo prazo VL pode então ser calculada como $\omega/\gamma$ . Para um processo GARCH(1,1) estável, precisamos que $\alpha + \beta < 1$ . Caso contrário, o peso aplicado à variância de longo prazo é negativo.

Abaixo, estimamos o GARCH(1,1) para a série de retornos diários do Ibovespa, tomando como equação da média um AR(1), e uma distribuição t de student assimétrica.

Previsão

Support Vector Regression: GARCH (SVR-GARCH)

SVR-GARCH é uma abordagem híbrida que combina Support Vector Regression (SVR) e modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) para previsão de séries temporais financeiras. O SVR é utilizado para modelar e prever a volatilidade, enquanto o GARCH ajusta a variância condicional da série temporal.

Para tratar do problema de separação linear do SVR, utilizamos duas funções kernels:

- **Kernel Radial (Gaussiano)**

$K(x, z) = \exp \left( -\frac{\|x - z\|^2}{2\sigma^2} \right)$

onde $\sigma$ é o parâmetro que define a largura do kernel.

- **Kernel Exponencial**

$K(x, z) = \exp \left( -\frac{\|x - z\|}{\sigma} \right)$

onde $\sigma$ é o parâmetro que define a largura do kernel.

onde $x$ é a entrada, $b$ é o viés ou constante, e $z$ é uma combinação linear de $x$ .

Neural Network

Para finalizar, utilizamos Redes Neurais para modelar a volatilidade da série do Ibovespa.

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