Prevendo o faturamento da empresa com modelos SARIMA

Empresas grandes ou pequenas sempre estão interessadas em gerar alguma previsibilidade sobre seu faturamento. O problema básico de um empreendimento desses é a ausência de variáveis preditoras. Apenas em poucos casos, teremos variáveis em uma frequência adequada que conseguem explicar o faturamento de uma empresa. Pode ser interessante, portanto, utilizar modelos univariados, onde a nossa variável de interesse pode ser explicada pelas suas próprias defasagens. Para ilustrar, considere que um processo autorregressivo de ordem $p$ pode ser representado como

(1) $\begin{equation*} y_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem $L^{k}y_{t} = y_{t-k}$ como

(2) $\begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p} L^p)y_{t} = \beta_{0} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda em notação polinomial

(3) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Onde $c=\beta_{0}$ . Considerando, assim, um processo AR(1), como

(4) $\begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

teremos um ruído branco quando $\beta_{1} = 0$ , um passeio aleatório quando $\beta_{1} = 1$ e $c=0$ ou, quando $c \neq 0$ , um \emph{passeio aleatório com drift}. Analogamente, podemos representar um processo de média móvel MA(q) como

(5) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \end{equation*}$

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem, como

(6) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda em notação polinomial

(7) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Utilizando o mesmo código acima, a propósito, podemos gerar alguns processos MA(1), modificando apenas o valor de $\theta_{1}$ . Ademais, como vimos, podemos combinar as equações 1 e 5, construindo assim um processo $ARMA(p,q)$ , que pode ser representado como

(8) $\begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \end{equation*}$

Onde, novamente, $c=\beta_{0}$ . Alternativamente, utilizando o operador defasagem

(9) $\begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = c + (1 + \theta_{1}L + \theta_ {2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda, em notação polinomial

(10) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Por suposto, podemos, enfim, generalizar nossa análise para um modelo $ARIMA(p,d,q)$ , onde $d$ será a ordem de integração do processo, como vimos na seção anterior. Ele pode ser representado em termos de notação polinomial como

(11) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)(1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

A equação 11 faz referência aos modelos ARIMA não sazonais. Os modelos ARIMA também são capazes de modelar uma ampla gama de dados sazonais. Um modelo ARIMA sazonal é formado pela inclusão de termos sazonais adicionais, na forma $ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)_m$ , onde o segundo componente faz referência à parte sazonal e $m$ significa o número de períodos por estação. Em termos formais,

(12) $\begin{equation*} \phi_{P}(L^s) \beta_{p}(L) (1 - L^s)^D (1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L) \Theta_{Q} (L^s) \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Uma vez que tenhamos chegado a modelos representados pela equação 11 e pela equação 12, podemos agora assim apresentar a metodologia proposta por Box et al. (2016). Ela consiste, basicamente, nos seguintes passos:

Identificação: uso dos dados e de qualquer outra informação sobre como as séries foram geradas para construir um modelo univariado;
Estimação: uso dos dados para construir inferências sobre os parâmetros condicionadas à adequação do modelo escolhido;
Diagnóstico: Avaliar o quão bem o modelo estimado se adequa aos dados efetivamente observados;
Previsão: Uma vez escolhido o melhor modelo, passa-se à etapa de previsão.

Para ilustrar, vamos considerar o faturamento de uma empresa específica. Nosso objetivo é construir um modelo SARIMA e a partir dele gerar previsões para os próximos 12 meses. Para começar, nós carregamos os seguintes pacotes:


library(tidyverse)
library(ggplot2)
library(forecast)
library(scales)
library(xtable)

Uma vez carregados os pacotes, podemos importar os dados de faturamento com o código a seguir:


data = read_csv2('data.csv',
col_types = list(col_date(format='%d/%m/%Y'),
col_integer()))

Uma vez que tenhamos importados os dados, podemos utilizar o pacote ggplot2 para visualizar a nossa variável de interesse.


ggplot(data, aes(date, faturamento))+
geom_line(size=.8)+
scale_x_date(breaks='1 year',
date_labels = '%Y')+
theme(axis.text.x=element_text(angle=45, hjust=1))+
labs(x='', y='Mil',
title='Faturamento mensal')

Ao observar o gráfico, vemos que existe uma tendência positiva associada ao faturamento da empresa, configurando a nossa série como não estacionária. Em outras palavras, de modo a modelar a nossa série, um primeiro passo é torná-la estacionária. A seguir, um plotamos um boxplot da série.

A mediana da série é de R$ 11.766 mil, o 1º quartil termina em R$ 8.729 mil e o terceiro quartil em R$ 16.807 mil. O IQR da série é, portanto, de R$ 8.077,25 mil. A seguir, verificamos se a série em questão apresenta alguma sazonalidade.

A seguir, plotamos a série sem tendência.

Todos esses aspectos devem ser levados em consideração no momento de construirmos nosso modelo univariado. Uma vez que tenhamos investigado a série, podemos construir nosso modelo SARIMA, plotando o ajuste do modelo como abaixo.

A seguir, plotamos o gráfico com a previsão 12 passos à frente.

A acurácia associada ao modelo é bastante razoável, tratando-se de um modelo univariado. Em outras palavras, a ausência de variáveis preditoras não nos impede de criar um modelo preditivo com acurácia razoável para prever o faturamento de uma determinada empresa. De fato, modelos univariados são bastante utilizados no dia a dia para gerar previsões.

Box, G. E. P.; Jenkins, G. M.; Reinsel, G. C., and Ljung, G. M. Time Series Analysis. Editora Wiley,
2016.

________________________

(*) A metodologia completa está disponível no nosso Curso de Séries Temporais usando o R.

(**) O código completo do exercício estará disponível essa semana no Clube do Código.

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