Implementando regressões simples no R

Regredir um variável contra uma variável é um poderoso recurso estatístico. De modo a explicar o método, suponha que estamos interessados em estimar os parâmetros populacionais e de um modelo de regressão simples

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a partir de uma amostra aleatória de e . Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) serão

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Baseado nos parâmetros estimados, a reta de regressão será

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Para uma dada amostra, nós precisaremos calcular as quatro estatísticas , , e e colocá-las nessas equações. Para ilustrar, vamos considerar o exemplo 2.3 de Wooldridge (2013) sobre Salários de CEOs e Retornos sobre o patrimônio. Para isso, considere o seguinte modelo

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onde é o salário anual de CEO em milhares de dólares e é o retorno médio sobre o patrimônio em percentual. O parâmetro irá medir a variação no salário anual quando o retorno médio sobre o patrimônio aumentar em um ponto percentual. Para estimar esse modelo, podemos utilizar o conjunto de dados ceosal1. Podemos dar uma olhada nas variáveis do conjunto de dados cesal1 a partir do pacote wooldridge como abaixo.

data(ceosal1, package='wooldridge')
attach(ceosal1)

Uma vez que tenhamos carregado o conjunto de dados, podemos calcular manualmente os parâmetros e , como abaixo.

# Cálculo manual dos parâmetros
b1hat = cov(roe,salary)/var(roe)
b0hat = mean(salary) - b1hat*mean(roe)

Isto é, a reta de regressão será dada por

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o que pode ser facilmente obtido com o código abaixo:

lm(salary ~ roe)

Implicando que para um , teremos um salário previsto de 963,19 ou US$ 963.191, que é o intercepto. Ademais, se , então = 18,5 ou US$ 18.501. Podemos, por fim, desenhar a reta de regressão com o código abaixo.

CEOregress = lm(salary ~ roe)
plot(roe, salary, ylim=c(0,4000))
abline(CEOregress, col='red')

Vamos continuar nossa revisão de modelos de regressão simples com o conjunto de dados wage1. Estamos interessados agora em estudar a relação entre educação e salários, de modo que o nosso modelo de regressão será

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O que pode ser obtido com o código abaixo.

modelo = lm(wage ~ educ, data=wage1)
modelo

Isto é, teremos a seguinte reta de regressão

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de modo que um ano adicional de estudo implica em mais 54 centavos à hora de trabalho. O objeto obtido com a função lm contém todas as informações relevantes de uma regressão. Abaixo, acessamos os elementos do objeto CEOregress:

names(CEOregress)
CEOregress$coefficients

Podemos obter os valores ajustados:

plot(CEOregress$fitted.values)

E os resíduos:

plot(CEOregress$residuals)

Por fim, podemos ainda obter um sumário de todas as estatísticas relevantes da regressão com a função abaixo.

summary(CEOregress)

O que podemos gerar como tabela com o pacote stargazer como abaixo.

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(*) Wooldridge, J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Editora Cengage, 2013.