Modelos Multivariados aplicados a séries temporais (Cointegração)

No post de hoje, vamos abordar os modelos lineares multivariados, apresentando conceitos importantes por meio de simulações e gráficos criados por meio das linguagens R e Python. Nosso objetivo é proporcionar uma compreensão clara e acessível desses modelos, de modo que seja fácil de entender e acompanhar. Nesta parte, apresentamos o modelo VECM.

Na análise multivariada, por suposto, a não estacionariedade das séries também pode causar problemas.

Para ilustrar, considere o exposto: Suponha duas variáveis aleatórias $X_t$ e $Y_t$ caracterizadas por um passeio aleatório. Podemos representá-las como

$X_t = X_{t-1} + \varepsilon_{Xt} \\ Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_{Yt}$

onde $\varepsilon_{Xt},\varepsilon_{Yt} \; \stackrel{i.i.d.}{\sim}(0,\sigma^2)$ .

Nesses termos, se estimamos o modelo dado por

$Y_t = \alpha + \beta X_t + \epsilon_t$

teremos, de modo geral, um $R^2$ relativamente alto e um $\beta$ estatisticamente significativo. Esse tipo de situação é classificada na literatura como regressão espúria, isto é, o caso onde duas séries não estacionárias estão relacionadas apenas pelo fato de ambas conterem uma tendência.

Para obter todo o código do processo de criação dos gráficos abaixo, faça parte do Clube AM, o repositório de códigos da Análise Macro, contendo exercícios semanais.

Para ilustrar esse problema na prática, vamos fazer uso do código abaixo.

Código

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                     y1   R-squared:                       0.976
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.976
Method:                 Least Squares   F-statistic:                 2.004e+04
Date:                Wed, 28 Jun 2023   Prob (F-statistic):               0.00
Time:                        21:45:03   Log-Likelihood:                -2121.8
No. Observations:                 500   AIC:                             4248.
Df Residuals:                     498   BIC:                             4256.
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const         15.3585      1.409     10.902      0.000      12.591      18.126
y2             1.1885      0.008    141.567      0.000       1.172       1.205
==============================================================================
Omnibus:                       68.266   Durbin-Watson:                   0.009
Prob(Omnibus):                  0.000   Jarque-Bera (JB):               18.342
Skew:                           0.095   Prob(JB):                     0.000104
Kurtosis:                       2.081   Cond. No.                         313.
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Geramos dois processos aleatórios, $y1$ e $y2$ , e regredimos um contra o outro. O resultado foi um $R^2$ elevado e coeficiente estatisticamente significativo. Ademais, como expõe Pfaff (2008), uma regra de ouro para identificar regressões espúrias é ver o valor da Estatística Durbin-Watson, que mede autocorrelação serial.

que mede autocorrelação serial.

Código

Teste de Durbin-Watson: 0.009038763584421843

O valor da estatística é muito baixo, menor do que o $R^2$ , o que é um forte indicativo de regressão espúria. É possível lidar com esse problema, como discorre Pfaff (2008), tornando a nossa série estacionária por meio de alguma transformação, como, por exemplo, tomar a primeira diferença da série.

Em alguns casos pode, de fato, ser uma estratégia válida. Isso, entretanto, impõe algumas restrições à análise. Ao tomar a primeira diferença, o coeficiente estimado pode levar a falsas interpretações, dada a perda de informação que se tem no processo. Ademais, relações de longo prazo entre as variáveis em nível ficam perdidas.

Por isso, uma abordagem mais interessante na análise multivariada é pensar no conceito de cointegração, que expomos a seguir.

O conceito de cointegração e o modelo de correção de erros

Uma exceção ao caso de regressão espúria visto anteriormente vem à tona quando dois processos aleatórios compartilham a mesma tendência estocástica.

Para ilustrar, considere, como Verbeek (2012), duas séries integradas de ordem 1, $Y_t$ e $X_t$ , e suponha que exista uma relação linear entre elas, dada por $Y_t = \beta X_t + \epsilon_{Yt}$ .

Isso implica no fato de existir algum valor de $\beta$ tal que $Y_t - \beta X_t$ seja integrado de ordem zero, mesmo com as séries originais sendo ambas não estacionárias. Nesses casos, diz-se que as séries são cointegradas e as mesmas compartilham a mesma tendência. Observe, por suposto, que a relação entre $X_t$ e $Y_t$ poderá ser caracterizada pelo vetor $[1,-\beta]^{'}$ .

Sendo um pouco mais formal, com base em Pfaff (2008), a ideia por trás do conceito de cointegração é encontrar uma combinação linear entre duas variáveis $I(d)$ de tal sorte que isso leve a uma variável de menor ordem de integração.

Isto é, os elementos do vetor $x_t$ são ditos cointegrados de ordem $d, b$ , denominado por $x_t \sim CI(d,b)$ , se todos os elementos de $x_t$ são $I(d)$ e o vetor $\alpha (\neq 0)$ existe tal que $z_t = \alpha^{'} x_t \sim I(d-b)$ , onde $b > 0$ . O vetor $\alpha$ é então chamado cointegrante.

Para os economistas, por exemplo, esse tipo de análise permite estabelecer relações de longo prazo entre variáveis não estacionárias. O problema, passa a como estimar o vetor cointegrante e como modelar o comportamento dinâmico das variáveis $I(d)$ .

Para resolver, vamos ilustrar o método de dois passos de Engle-Granger, exposto em Pfaff (2008).

No primeiro passo, estimamos o seguinte modelo contendo variáveis não estacionárias de mesma ordem de integração

$y_t = \alpha_1 x_{t,1} + \alpha_2 x_{t,2} + \alpha_K x_{t,K} + z_t$

para $t = 1,...,T$ , onde $z_t$ é um termo de erro. O vetor cointegrante $(K+1)$ $\hat{\alpha}$ estimado é dado por $\hat{\alpha} = [1,-\hat{\alpha^{*}}]^{'}$ , onde $\hat{\alpha^{*}} = (\hat{\alpha_1},...,\hat{\alpha_K})$ .

Assim, acaso exista uma relação de cointegração entre as variáveis, $z_t$ nada mais é do que o erro em relação ao equilíbrio de longo prazo entre elas. Nesse caso, $z_t$ será necessariamente estacionário. Obs. Pelo fato de $z_t$ ser uma variável estimada, é preciso testar a presença de raiz unitária com outros valores críticos.

Se conseguirmos evidências de que $z_t$ é de fato estacionário, podemos passar adiante. O passo seguinte é especificar um modelo de correção de erros (ECM, no inglês).

Para simplificar, vamos considerar o caso bivariado, onde $y_t$ e $x_t$ são cointegradas, sendo ambas $I(1)$ . O ECM é então especificado, de forma geral, como segue

$\Delta y_t = \psi_0 + \gamma_1 \hat{z_{t-1}} + \sum_{i=1}^{K} \psi_{1,i} \Delta x_{t-i} + \sum_{i=1}^{L} \psi_{2,i} \Delta y_{t-i} + \varepsilon_{1,t}$

$\Delta x_t = \xi_0 + \gamma_2 \hat{z_{t-1}} + \sum_{i=1}^{K} \xi_{1,i} \Delta y_{t-i} + \sum_{i=1}^{L} \xi_{2,i} \Delta x_{t-i} + \varepsilon_{2,t}$

onde $\hat{z_{t}}$ é o erro do modelo estimado e $\varepsilon_{1,t}$ $\varepsilon_{2,t}$ são ruídos brancos. Nesses termos, o ECM implica que mudanças em $y_t$ são explicadas pela sua própria estória, mudanças defasadas em $x_t$ e pelos erros obtidos da relação de equilíbrio na equação de $y_t$ .

O valor do coeficiente $\gamma_1$ determina, a velocidade de ajustamento e deveria ser sempre negativo. De outra forma, o sistema poderia divergir da sua trajetória de equilíbrio de longo prazo.

Existe cointegração entre a PETR4 e PETR3?

Para ilustrar a metodologia de Engle-Granger, vamos ver se podemos encontrar uma relação de cointegração entre as ações da PETR4 e PETR3 no período de 28 de março de 2021 até 28 de março de 2022. A ideia básica é a de que os preços de ambas as ações seguem uma mesma tendência estocástica, visto que possuem uma trajetória comum.

Código

Visualizamos as séries e verificamos claramente que não são estacionárias, o que permite aplicarmos o Teste de Engle-Granger (fica ao leitor a aplicação de algum tipo de teste de estacionariedade).

Há claramente uma trajetória comum entre as séries.

Antes, podemos dar uma olhada na correlação entre as variáveis abaixo.

Podemos perceber a relação entre os preços das duas ações. Agora partimos para a estimação da regressão linear, em que petr3 ~ petr4.

Código

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                  petr3   R-squared:                       0.994
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.994
Method:                 Least Squares   F-statistic:                 3.874e+04
Date:                Wed, 28 Jun 2023   Prob (F-statistic):          1.70e-273
Time:                        21:45:05   Log-Likelihood:                 20.924
No. Observations:                 249   AIC:                            -37.85
Df Residuals:                     247   BIC:                            -30.81
Df Model:                           1                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const         -2.6896      0.089    -30.098      0.000      -2.866      -2.514
petr4          1.3278      0.007    196.818      0.000       1.315       1.341
==============================================================================
Omnibus:                        1.350   Durbin-Watson:                   0.271
Prob(Omnibus):                  0.509   Jarque-Bera (JB):                1.052
Skew:                           0.131   Prob(JB):                        0.591
Kurtosis:                       3.180   Cond. No.                         84.1
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Uma vez estimada a regressão, vamos checar se os nossos resíduos são estacionários.

Estatística ADF: -4.1941094433497845
Valor-p: 0.0006741926650856735
Valores críticos: {'1%': -3.4569962781990573, '5%': -2.8732659015936024, '10%': -2.573018897632674}

Ao comparar as estatísticas de teste com os valores da tabela, é possível rejeitar a hipótese nula de presença de raiz unitária. Isto é, nossos resíduos são estacionários e podemos, então, passar ao passo 2 do método de Engle-Granger.

Aqui, vamos estimar o seguinte modelo de correção de erros

(1) $\begin{equation*} \Delta petr3_t = \psi_0 + \psi_1 \hat{u_{t-1}} + \psi_3 \Delta petr4_{t} + \varepsilon_t \end{equation*}$

onde $\hat{u_{t-1}}$ serão os resíduos da regressão que acabamos de estimar.

O código abaixo, por fim, estima o modelo de correção de erros.

Código

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:           petr3.diff()   R-squared:                       0.919
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.919
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     1399.
Date:                Wed, 28 Jun 2023   Prob (F-statistic):          9.47e-135
Time:                        21:45:05   Log-Likelihood:                 236.27
No. Observations:                 248   AIC:                            -466.5
Df Residuals:                     245   BIC:                            -456.0
Df Model:                           2                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==========================================================================================
                             coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------------------
Intercept                  0.0061      0.006      1.011      0.313      -0.006       0.018
residuos_petro.shift()    -0.0985      0.027     -3.647      0.000      -0.152      -0.045
petr4.diff()               1.1090      0.021     52.797      0.000       1.068       1.150
==============================================================================
Omnibus:                        3.965   Durbin-Watson:                   2.087
Prob(Omnibus):                  0.138   Jarque-Bera (JB):                4.843
Skew:                           0.056   Prob(JB):                       0.0888
Kurtosis:                       3.675   Cond. No.                         4.58
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

Observe que o coeficiente que dá a velocidade do ajustamento é residuos_petro.shift(), isto é, negativo, no valor de -0.0985 conforme vimos acima.

Ademais, mudanças na petr4.diff() têm impacto positivo sobre as mudanças da petr3.diff(), com o coeficiente de 1.1090 sendo estatisticamente significativo.

A metodologia de Johansen e o Vetor de Correção de Erros

O problema da metodologia de Engle-Granger é que ela nos dá no máximo um vetor de cointegração, independente do número de variáveis envolvidas.

Porém, se $n$ variáveis estão envolvidas no processo, então podem existir até $n-1$ vetores cointegrantes. O vetor cointegrante estimado no caso de 3 ou mais variáveis utilizando esta metodologia pode não ser único. Podendo ser uma combinação de diferentes vetores cointegrantes.

A metodologia de Johansen, por outro lado, nos diz quantos vetores cointegrantes existem entre $n$ variáveis. Uma vez determinado esse número, é possível então construir um vetor de correção de erros, que nada mais é do que uma extensão do ECM visto anteriormente.

De modo a especificar o VECM, como em Pfaff (2008), considere primeiro um Vetor Autorregressivo de ordem $p$ como

$y_t = \Pi_1 y_{t-1} + ... + \Pi_{K} y_{t-p} + \mu + \Phi D_t + \varepsilon_t \quad \text{para} \quad t = 1,...,T,$

onde $y_t$ é o vetor $(K \times 1)$ de séries no período $t$ , $\Pi_i(i = 1,...,p)$ é a matriz $(K \times K)$ de coeficientes das variáveis endógenas defasadas, $\mu$ é o vetor $(K \times 1)$ de constantes e $D_t$ é um vetor de variáveis não estocásticas, tal como dummies sazonais e de intervenção. O termo de erro $(K \times 1)$ $\varepsilon_t$ é supostamente i.i.d. tal que $\varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$ .

Da equação acima, duas versões do VECM pode ser especificadas.

Na primeira forma, onde $y_t$ , um vetor $(Kx1)$ de séries no período $t$ entra com defasagem $t-p$ :

\begin{subequations}

(2) $\begin{align*} \Delta y_t& = \tau_1 \Delta y_{t-1} + ... + \tau_{p-1} \Delta y_{t-p+1} + \Pi y_{t-p} + \mu + \Phi D_t + \varepsilon_t \\ \tau_i& = - (I - \Pi_1 - ... - \Pi_i) \quad \text{para} \quad i = 1,...,p-1 \\ \Pi& = - (I - \Pi_1 - ... - \Pi_p) \end{align*}$

\end{subequations}

onde $\Pi_i(i=1,...,p)$ é uma matriz $(K \times K)$ de coeficientes das variáveis endógenas defasadas, $\mu$ é um vetor $(K \times 1)$ de constantes, $D_t$ é um vetor de variáveis não estocásticas, $I$ é a matriz identidade $(K \times K)$ , $\tau_i(i=1,...,p)$ é a matriz que contém os impactos cumulativos de longo prazo, dando a essa especificação o nome de forma de longo prazo.

Por fim, $\varepsilon_t$ é o vetor $(K \times 1)$ de termos de erros, supostamente i.i.d. tal que $\varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$ .

Uma outra especificação do VECM pode ser da forma:

\begin{subequations}
\label{vecm}

(3) $\begin{align*} \Delta y_t& = \tau_1 \Delta y_{t-1} + ... + \tau_{p-1} \Delta y_{t-p+1} + \Pi y_{t-1} + \mu + \Phi D_t + \varepsilon_t \\ \tau_i& = - (\Pi_{i-1} - ... - \Pi_p) \quad \text{para} \quad i = 1,...,p-1 \\ \Pi& = - (I - \Pi_1 - ... - \Pi_p) \end{align*}$

\end{subequations}

A matriz $\Pi$ é da mesma forma da primeira especificação. Já as matrizes $\tau_i$ se diferenciam no sentido de que aqui medem efeitos transitórios, o que dá o nome dessa especificação de forma transitória.

Ademais, nessa especificação os níveis de $y_t$ entram defasadas um período apenas.

Estimando um VECM no Python

De modo a ilustrar a aplicação do VECM, vamos construir um modelo com foco na trajetória da Dívida Bruta. Para isso, devemos importar as variáveis relevantes conforme o código abaixo.

Uma vez importadas as séries, precisamos verificar se há cointegração entre elas.

Seleção do Rank de Cointegração

Utilizamos o teste de Johansen, por meio da função select_coint_rank. Em seus parâmetros, definimos as variáveis, o termo determinístico (-1 sem termo; 0 para constante; 1 para linear), o número de diferenças defasadas e o método a ser utilizado pelo teste, trace e maxeig.

O Teste vai determinar o número de vetores de cointegração ou relações de cointegração (r). O modelo VECM é utilizado quando os vetores de cointegração são maiores que 0 e menores que o número de variáveis no modelo (K).

0 < r < K; aplicar VECM

No nosso exemplo (onde K = 5), a aplicação do VECM é apropriada se o r seja o valor de 2,3 e 4, pois isso satisfaz a condição acima 0 < r < K (ou seja, 0 < r < 5).

O teste pode ser realizado usando tanto a estatística de Traço (Trace statistic) quanto a estatística do Autovalor Máximo (Maximum Eigenvalue statistic) para testar as seguintes hipóteses:

Hipótese Nula (H0): Não existe cointegração entre as variáveis (r = 0). Hipótese Alternativa (H1): Existe pelo menos uma relação de cointegração entre as variáveis (r > 0).

O teste de cointegração de Johansen avalia se a estatística de teste excede o valor crítico para rejeitar a hipótese nula e inferir a presença de cointegração entre as variáveis.

Código

Johansen cointegration test using trace test statistic with 5% significance level
=====================================
r_0 r_1 test statistic critical value
-------------------------------------
  0   5          92.10          69.82
  1   5          51.34          47.85
  2   5          22.52          29.80
-------------------------------------
Johansen cointegration test using maximum eigenvalue test statistic with 5% significance level
=====================================
r_0 r_1 test statistic critical value
-------------------------------------
  0   1          40.76          33.88
  1   2          28.82          27.59
  2   3          11.77          21.13
-------------------------------------

Cada linha da tabela resultante mostra um teste com:

Hipótese nula: “O rank de cointegração é r_0”
Hipótese alternativa:“O rank de cointegração é maior que r_0 e ≤ r_1”.

A última linha contém informações sobre o rank de cointegração a ser escolhido. Se a estatística de teste dessa linha for menor que o valor crítico correspondente, utiliza-se r_0 como o rank de cointegração. Caso contrário, utiliza-se r_1.

Essa informação é relevante para determinar o número de vetores de cointegração adequados para o modelo. Se o teste estatístico para r_0 for estatisticamente significativo, indica que o número de vetores de cointegração é pelo menos r_0. Por outro lado, se o teste para r_1 for significativo, indica que o número de vetores de cointegração é maior que r_0 e r_1.

A partir das tabelas acima, chegamos a conclusão que r_0 = 2.

Seleção da ordem de defasagem

Determinado a ordem de cointegração, determinado a ordem de defasagem. Fazemos isso por meio da função select_order. Como parâmetros, temos os dados, o máximo de defasagens e o termo determínistico.

Entre as escolhas do último, temos:

“N” - sem termos determinísticos
“co” - constante fora da relação de cointegração
“ci” - constante dentro da relação de cointegração
“lo” - tendência linear fora da relação de cointegração
“li” - tendência linear dentro da relação de cointegração

Código

{'aic': 5, 'bic': 1, 'hqic': 4, 'fpe': 4}

É sugerido a escolha de diferentes defasagens de acordo com diferentes critérios. Escolhemos o bic = 1

Estimação do VECM

Para ajustar um modelo VECM aos dados, primeiro criamos um objeto VECM no qual definimos:

Os termos determinísticos
A ordem de defasagem (lag order)
O rank de cointegração

Código

  Det. terms outside the coint. relation & lagged endog. parameters for equation dbgg   
========================================================================================
                           coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
----------------------------------------------------------------------------------------
L1.dbgg                  0.4057      0.199      2.041      0.041       0.016       0.795
L1.juro_real_ex_post    -0.0785      0.158     -0.498      0.619      -0.387       0.230
L1.nfsp                 -0.0113      0.256     -0.044      0.965      -0.513       0.491
L1.cambio                1.2477      0.780      1.599      0.110      -0.281       2.777
L1.dpib                 -0.2020      0.195     -1.035      0.301      -0.585       0.180
Det. terms outside the coint. relation & lagged endog. parameters for equation juro_real_ex_post
========================================================================================
                           coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
----------------------------------------------------------------------------------------
L1.dbgg                 -0.1318      0.126     -1.043      0.297      -0.380       0.116
L1.juro_real_ex_post     0.4766      0.100      4.756      0.000       0.280       0.673
L1.nfsp                 -0.2818      0.163     -1.729      0.084      -0.601       0.038
L1.cambio               -0.2007      0.496     -0.404      0.686      -1.173       0.772
L1.dpib                 -0.1313      0.124     -1.058      0.290      -0.375       0.112
  Det. terms outside the coint. relation & lagged endog. parameters for equation nfsp   
========================================================================================
                           coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
----------------------------------------------------------------------------------------
L1.dbgg                  0.1278      0.096      1.329      0.184      -0.061       0.316
L1.juro_real_ex_post     0.0412      0.076      0.540      0.589      -0.108       0.191
L1.nfsp                  0.5798      0.124      4.677      0.000       0.337       0.823
L1.cambio                1.2502      0.378      3.311      0.001       0.510       1.990
L1.dpib                  0.0218      0.094      0.231      0.817      -0.163       0.207
 Det. terms outside the coint. relation & lagged endog. parameters for equation cambio  
========================================================================================
                           coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
----------------------------------------------------------------------------------------
L1.dbgg                  0.0210      0.033      0.631      0.528      -0.044       0.086
L1.juro_real_ex_post    -0.0381      0.026     -1.444      0.149      -0.090       0.014
L1.nfsp                 -0.0638      0.043     -1.485      0.138      -0.148       0.020
L1.cambio                0.2907      0.131      2.222      0.026       0.034       0.547
L1.dpib                 -0.0078      0.033     -0.238      0.812      -0.072       0.056
  Det. terms outside the coint. relation & lagged endog. parameters for equation dpib   
========================================================================================
                           coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
----------------------------------------------------------------------------------------
L1.dbgg                 -0.3222      0.136     -2.368      0.018      -0.589      -0.055
L1.juro_real_ex_post     0.0632      0.108      0.586      0.558      -0.148       0.275
L1.nfsp                  0.2577      0.175      1.470      0.142      -0.086       0.601
L1.cambio               -0.2228      0.534     -0.417      0.677      -1.270       0.824
L1.dpib                  0.5110      0.134      3.825      0.000       0.249       0.773
                Loading coefficients (alpha) for equation dbgg                
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ec1            0.0081      0.034      0.239      0.811      -0.058       0.074
ec2           -0.0069      0.036     -0.194      0.846      -0.077       0.063
         Loading coefficients (alpha) for equation juro_real_ex_post          
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ec1            0.0401      0.021      1.874      0.061      -0.002       0.082
ec2           -0.0414      0.023     -1.824      0.068      -0.086       0.003
                Loading coefficients (alpha) for equation nfsp                
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ec1            0.0465      0.016      2.856      0.004       0.015       0.078
ec2           -0.0576      0.017     -3.340      0.001      -0.091      -0.024
               Loading coefficients (alpha) for equation cambio               
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ec1            0.0021      0.006      0.380      0.704      -0.009       0.013
ec2           -0.0024      0.006     -0.400      0.689      -0.014       0.009
                Loading coefficients (alpha) for equation dpib                
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
ec1            0.0461      0.023      2.001      0.045       0.001       0.091
ec2           -0.0319      0.024     -1.307      0.191      -0.080       0.016
          Cointegration relations for loading-coefficients-column 1           
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
beta.1         1.0000          0          0      0.000       1.000       1.000
beta.2     -1.128e-16          0          0      0.000   -1.13e-16   -1.13e-16
beta.3         8.3586      3.705      2.256      0.024       1.096      15.621
beta.4       -24.8637      3.500     -7.104      0.000     -31.723     -18.004
beta.5        -9.7386      6.371     -1.529      0.126     -22.225       2.748
const         39.4169      6.017      6.551      0.000      27.624      51.210
          Cointegration relations for loading-coefficients-column 2           
==============================================================================
                 coef    std err          z      P>|z|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
beta.1     -1.342e-17          0          0      0.000   -1.34e-17   -1.34e-17
beta.2         1.0000          0          0      0.000       1.000       1.000
beta.3        11.9639      2.365      5.058      0.000       7.328      16.600
beta.4       -18.6400      2.234     -8.344      0.000     -23.019     -14.261
beta.5        -6.7921     20.068     -0.338      0.735     -46.125      32.540
const         76.7391     18.954      4.049      0.000      39.590     113.888
==============================================================================

A representação do valores em VAR podem ser obtidos por meio da propriedade var_rep.

Código

array([[[ 1.41375584, -0.08536146, -0.02659502,  1.17626795,
         -0.23355838],
        [-0.09173148,  1.43521314, -0.44171427, -0.42627947,
         -0.24077763],
        [ 0.17429116, -0.01648485,  1.27862109,  1.16897731,
         -0.039309  ],
        [ 0.02317379, -0.04053679, -0.07447212,  1.28198379,
         -0.01242192],
        [-0.27608078,  0.03127956,  0.26103657, -0.77346052,
          1.27905325]],

       [[-0.40570265,  0.07845381,  0.0112659 , -1.24774092,
          0.20204921],
        [ 0.13182972, -0.4765953 ,  0.28178727,  0.20065519,
          0.13134929],
        [-0.12780611, -0.04116342, -0.57976932, -1.25019979,
         -0.02183696],
        [-0.02103035,  0.03814584,  0.06378313, -0.29071007,
          0.00778746],
        [ 0.32215148, -0.06318908, -0.25771294,  0.22276878,
         -0.5109834 ]]])

De forma a gerar as funções de impulso-resposta, podemos aplicar o método irf.

_____________________

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Referências

Enders, W. 2009. Applied Econometric Times Series. Wiley Series em Probability e Statistics. Wiley.

Pfaff, B. 2008. Analysis of integrated and cointegrated time series with R. Second. New York: Springer.

Verbeek, M. 2012. A Guide to Modern Econometrics. Editora Wiley.

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