Comentário de Conjuntura

Estimando um modelo de correção de erros entre a Produção de Veículos e a Produção Industrial

By 7 de janeiro de 2020 No Comments

Uma exceção ao caso de regressão espúria  vem à tona quando dois processos aleatórios compartilham a mesma tendência estocástica - para uma demostração detalhada, ver Enders (2009). Para ilustrar, considere, como Verbeek (2012), duas séries integradas de ordem 1, Y_t e X_t, e suponha que exista uma relação linear entre elas, dada por Y_t = \beta X_t + \epsilon_{Yt}. Isso implica no fato de existir algum valor de \beta tal que Y_t - \beta X_t seja integrado de ordem zero, mesmo com as séries originais sendo ambas não estacionárias. Nesses casos, diz-se que as séries são cointegradas e as mesmas compartilham a mesma tendência.

Sendo um pouco mais formal, com base em Pfaff (2008), a ideia por trás do conceito de cointegração é encontrar uma combinação linear entre duas variáveis I(d) de tal sorte que isso leve a uma variável de menor ordem de integração. Isto é,

Os elementos do vetor x_t são ditos cointegrados de ordem d, b, denominado por x_t \sim CI(d,b), se todos os elementos de x_t são I(d) e o vetor \alpha (\neq 0) existe tal que z_t = \alpha^{'} x_t \sim I(d-b), onde b > 0. O vetor \alpha é então chamado cointegrante.

Para os economistas, por exemplo, esse tipo de análise permite estabelecer relações de longo prazo entre variáveis não estacionárias. O problema, por suposto, passa a como estimar o vetor cointegrante e como modelar o comportamento dinâmico das variáveis I(d). Para resolver, vamos ilustrar o método de dois passos de Engle-Granger}, exposto em Pfaff (2008). No primeiro passo, estimamos o seguinte modelo contendo variáveis não estacionárias de mesma ordem de integração.

(1)   \begin{equation*} y_t = \alpha_1 x_{t,1} + \alpha_2 x_{t,2} + \alpha_K x_{t,K} + z_t  \end{equation*}

para t = 1,...,T, onde z_t é um termo de erro. O vetor cointegrante (K+1) \hat{\alpha} estimado é dado por \hat{\alpha} = [1,-\hat{\alpha^{*}}]^{'}, onde \hat{\alpha^{*}} = (\hat{\alpha_1},...,\hat{\alpha_K}). Assim, acaso exista uma relação de cointegração entre as variáveis, z_t nada mais é do que o erro em relação ao equilíbrio de longo prazo entre elas. Nesse caso, z_t será necessariamente estacionário. Pelo fato de z_t ser uma variável estimada, é preciso testar a presença de raiz unitária com outros valores críticos. No R, esses valores podem ser obtidos com a função unitrootTable do pacote fUnitRoots

Se conseguirmos evidências de que z_t é de fato estacionário, podemos passar adiante. O passo seguinte é especificar um modelo de correção de erros (ECM, no inglês). Para simplificar, vamos considerar, como em Pfaff (2008), o caso bivariado, onde y_t e x_t são cointegradas, sendo ambas I(1). O ECM é então especificado, de forma geral, como segue

(2)   \begin{eqnarray*} \Delta y_t =& \psi_0 + \gamma_1 \hat{z_{t-1}} + \sum_{i=1}^{K} \psi_{1,i} \Delta x_{t-i} + \sum_{i=1}^{L} \psi_{2,i} \Delta y_{t-i} + \varepsilon_{1,t} \\ \Delta x_t =& \xi_0 + \gamma_2 \hat{z_{t-1}} + \sum_{i=1}^{K} \xi_{1,i} \Delta y_{t-i} + \sum_{i=1}^{L} \xi_{2,i} \Delta x_{t-i} + \varepsilon_{2,t} \label{passo22} \end{eqnarray*}

onde \hat{z_{t}} é o erro do modelo estimado em 1 e \varepsilon_{1,t} \varepsilon_{2,t} são ruídos brancos. Nesses termos, o ECM na equação 2 implica que mudanças em y_t são explicadas pela sua própria estória, mudanças defasadas em x_t e pelos erros obtidos da relação de equilíbrio no passo 1. O valor do coeficiente \gamma_1 determina, por suposto, a velocidade de ajustamento e deveria ser sempre negativo. De outra forma, o sistema poderia divergir da sua trajetória de equilíbrio de longo prazo.

Para ilustrar, vamos verificar a relação existente entre a produção de veículos e a produção industrial ao longo do tempo. Abaixo, nós carregamos alguns pacotes do R que utilizaremos nesse Comentário de Conjuntura.


library(ggplot2)
library(xtable)
library(forecast)
library(gridExtra)
library(readxl)
library(dplyr)
library(magrittr)
library(scales)
library(sidrar)
library(vars)
library(dynlm)

Carregados os pacotes, nós podemos importar a produção de veículos e a produção industrial com o código abaixo.


# Produção de Veículos
url = 'http://www.anfavea.com.br/docs/SeriesTemporais_Autoveiculos.xlsm'
download.file(url, destfile = 'veiculos.xlsm', mode='wb')
veiculos = read_excel('veiculos.xlsm', col_types = c('date',
rep('numeric', 25)),
skip=4)
veiculos$X__1 = as.Date(veiculos$X__1, format="%d/%m/%Y")
colnames(veiculos)[1] = 'dates'

## indústria
table1 = get_sidra(api='/t/3653/n1/all/v/3134,3135/p/all/c544/all/d/v3134%201,v3135%201')

geral_sa = table1$Valor[table1$`Variável (Código)`==3134 & table1$`Seções e atividades industriais (CNAE 2.0) (Código)`==129314]

geral = table1$Valor[table1$`Variável (Código)`==3135 & table1$`Seções e atividades industriais (CNAE 2.0) (Código)`==129314]

dates = seq(as.Date('2002-01-01'), as.Date('2019-10-01'), by='1 month')
industria = tibble(dates, geral, geral_sa)

Temos dois tibbles contendo os dados da produção de veículos e da produção industrial. A seguir, nós podemos plotar um gráfico de correlação entre as séries.


filter(veiculos, dates > '2002-01-01') %>%
inner_join(industria, by='dates') %>%
ggplot(aes(x=Produção/1000, y=geral))+
geom_point()+
geom_smooth(se=FALSE, method='lm', colour='red')+
labs(x='Produção de Veículos', y='Produção Industrial',
title='Produção de Veículos vs. Produção Industrial',
caption='Fonte: analisemacro.com.br')

E o gráfico...

De posse dos dados, nós então estimamos a produção industrial contra a produção de veículos e obtemos os resíduos da regressão. Verificamos que os mesmos são estacionários, o que nos permite passar para o passo 2 e estimar o seguinte modelo:

(3)   \begin{align*} \Delta Industria_t = \gamma_0 + \gamma_1 \hat{u_{t-1}} + \gamma_2 \Delta Veiculos_t + \varepsilon_t \end{align*}

onde \hat{u_{t-1}} são os resíduos da regressão que acabamos de estimar. Abaixo a tabela com os resultados da regressão.

 

Dependent variable:
d(industria)
lag(resid, -1) -0.250***
(0.046)
d(veiculos) 0.0001***
(0.00001)
Constant 0.019
(0.243)
Observations 212
R2 0.644
Adjusted R2 0.641
Residual Std. Error 3.542 (df = 209)
F Statistic 189.114*** (df = 2; 209)
Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

 

Como esperado, o coeficiente que dá a velocidade do ajustamento é negativo, bem como o coeficiente da produção de veículos é estatisticamente significativo. Com a recuperação da produção de veículos, é esperado um impacto positivo sobre a produção industrial ao longo do tempo, o que deve contribuir para uma aceleração no crescimento da economia.

________________________________

Enders, W. Applied Econometric Times Series. Wiley Series in Probability and Statistics. Wiley,
2009.

Pfaff, B. Analysis of integrated and cointegrated time series with R. Springer, New York, second
edition, 2008.

Verbeek, M. A Guide to Modern Econometrics. Editora Wiley, 2012.

(*) Isso e muito mais você aprende no nosso Curso de Séries Temporais usando o R.

(**) Os códigos do comentário estarão disponíveis logo mais no Clube do Código.

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