Modelos SARIMA

Modelos SARIMA são modelos da classe de modelos univariados de séries temporais. O acrônimo SARIMA significa modelos AutoRegressivos Integrados de Médias Móveis com Sazonalidade. São modelos bastante úteis para gerar previsão de séries temporais quando, em geral, não estão disponíveis variáveis preditoras. O aspecto mais interessante desse tipo de abordagem é justamente colocar a parte sazonal da série dentro do modelo.

Um processo autorregressivo de ordem $p$ pode ser representado como

(1) $\begin{equation*} y_{t} = \beta_{0} + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem $L^{k}y_{t} = y_{t-k}$ como

(2) $\begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = \beta_{0} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda em notação polinomial

(3) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

Onde $c=\beta_{0}$ . Abaixo simulamos alguns processos autorregressivos de ordem 1 no R, com diferentes valores para $\beta_{1}$ .

Considerando, assim, um processo AR(1), como

(4) $\begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \varepsilon_{t} \end{equation*}$

teremos um \emph{ruído branco} quando $\beta_{1} = 0$ , um \emph{passeio aleatório} quando $\beta_{1} = 1$ e $c=0$ ou, quando $c \neq 0$ , um \emph{passeio aleatório com drift}. Analogamente, podemos representar um processo de média móvel MA(q) como

(5) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \end{equation*}$

Ou, alternativamente, utilizando o operador defasagem, como

(6) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda em notação polinomial

(7) $\begin{equation*} y_{t} = \mu + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Utilizando o mesmo código acima, a propósito, podemos gerar alguns processos MA(1), modificando apenas o valor de $\theta_{1}$ . Ademais, como vimos, podemos combinar as equações 1 e 5, construindo assim um processo $ARMA(p,q)$ , que pode ser representado como

(8) $\begin{equation*} y_{t} = c + \beta_{1}y_{t-1} + \beta_{2}y_{t-2} + ... + \beta_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + ... + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \end{equation*}$

Onde, novamente, $c=\beta_{0}$ . Alternativamente, utilizando o operador defasagem

(9) $\begin{equation*} (1-\beta_{1}L - \beta_{2}L^2 - ... \beta_{p}L^p)y_{t} = c + (1 + \theta_{1}L + \theta_{2}L^2 + ... \theta_{q}L^q)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Ou ainda, em notação polinomial

(10) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

Podemos, enfim, generalizar nossa análise para um modelo $ARIMA(p,d,q)$ , onde $d$ será a ordem de integração do processo. Ele pode ser representado em termos de notação polinomial como

(11) $\begin{equation*} \beta_{p}(L)(1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L)\varepsilon_{t} \end{equation*}$

A equação 11 faz referência aos modelos ARIMA não sazonais. Os modelos ARIMA também são capazes de modelar uma ampla gama de dados sazonais. Um modelo ARIMA sazonal é formado pela inclusão de termos sazonais adicionais, na forma $ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)_m$ , onde o segundo componente faz referência à parte sazonal e $m$ significa o número de períodos por estação. Em termos formais,

(12) $\begin{equation*} \phi_{P}(L^s) \beta_{p}(L) (1 - L^s)^D (1 - L)^{d} y_{t} = c + \theta_{q}(L) \Theta_{Q} (L^s) \varepsilon_{t} \end{equation*}$

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(*) Para aprender mais, conheça nosso Curso de Análise de Séries Temporais.

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