Aplicações de Modelos de Volatilidade: VaR Dinâmico com GARCH usando Python

Uma aplicação interessante da variância calculada a partir dos modelos da família ARCH é a possibilidade de estimar o Value at Risk ao longo do tempo de uma carteira ou ativo. Mostramos como aplicar um VaR por meio de um GARCH utilizando o Python como ferramenta.

Risco

O risco, pode ser definido de forma geral, como a chance de perda, perigo ou exposição a algo ruim acontecer a qualquer momento. De certa forma, acontecimentos, eventos, consequências de decisão e incerteza são parte daquilo que definem o risco. Refere-se, portanto, a capacidade de se mensurar o estado de incerteza de uma decisão mediante o conhecimento das probabilidades associadas à ocorrência de determinados resultados ou valores.

Por ser necessário mensurar esse estado, o risco não pode ser totalmente definido de uma forma estrita, dependerá muito do contexto e da atividade das empresas.

Para tanto, é necessário definir e classificar os riscos de instituições financeiras, antes de poder quantificar e avaliar de fato o riscos que estas sofrem, portanto, elencaremos os tipos de riscos e adotaremos apenas um para o uso geral nesta seção, bem como para a avaliação de ativos/instrumentos financeiros.

Tipos de riscos

As empresas em geral são expostas a três classes de risco: operacional, estratégico e financeiro. Os riscos financeiros são relativamente mais simples de identificar e mensurar, bem como implicam em perdas financeiras relevantes para as empresas, portanto, estaremos interessados nessa classe de risco.

Os riscos financeiros podem ser classificados, em três principais tipos:

  •  Risco de mercado: é o risco da mudança do valor da posição financeira de determinado ativos/instrumento financeiro. Ocorre devido a mudanças de fatores de riscos ligados a esse determinado ativos, como por exemplo, a variação de uma ação decorrente de péssimos resultados da empresa ou mudanças no preço de títulos públicos devido a evento macroeconômicos.
  •  Risco de crédito: é o risco de não receber pagamentos prometidos a empréstimos ou outros tipos de contratos, devido ao calote ou a falência do tomador.
  •  Risco Operacional: o risco operacional é resultado de falhas dos processos internos de uma empresa ocasionados por pessoas, máquinas ou eventos externos.

Existem diversos outros tipos de risco financeiros, como por exemplo risco de liquidez e de subscrição, mas os três elencados são os principais avaliados nas instituição.

Como é possível compreender, os riscos referem-se tanto a eventos externos da empresa, quanto internos. Podemos portanto introduzir que o risco total de qualquer ativo é definido pela sua parte sistemática (risco sistemática) e não sistemático (risco específico ou próprio da empresa/ativo). Enquanto o primeiro é inerente a todas as empresas, o segundo é identificado como próprio do ativo, portanto, é possível reduzir esse risco diversificando o conjunto de investimentos.

Até o momento, foi-se discutido modelos para mensurar a volatilidade, entretanto, a partir da mensuração do que se conhece-se como volatilidade estatística, é possível obter uma medida que estime a perda monetária máxima em determinado número de dias, conhecido como Valor em Risco, ou em inglês, Value at Risk (VaR).

O VaR será uma medida de risco financeiro de mercado e que dará uma medida do grau de incerteza sobre retornos líquidos futuros.

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VaR (Value at Risk)

Informalmente, o VaR é uma medida da variação potencial máxima do valor de um ativo (ou carteira de ativos), sobre um período pré-fixado, com dada probabilidade. Ou seja, quanto se pode perder, com probabilidade p, sobre um horizonte h fixado.

Do ponto de vista de uma empresa, o VaR é uma medida de perda associada a um evento extremo, sob condições normais de mercado. Podemos trabalhar com um VaR paramétrico (onde assumimos uma distribuição teórica, usualmente a normal) ou um VaR empírico, em que utiliza-se os quantis empíricos.

Exemplo

Suponha que exista uma chance de 95% de que a taxa de câmbio Real/USD não caia mais do que 1% em um dia. Suponha, ainda, que uma empresa tenha 100 milhões de reais aplicados num fundo cambial.

Suponha que exista uma chance de 95% de que a taxa de câmbio Real/USD não caia mais do que 1% em um dia. Suponha, ainda, que uma empresa tenha 100 milhões de reais aplicados num fundo cambial.

Calculemos a perda potencial sobre este valor aplicado. Uma série temporal do desvio padrão (volatilidade) \sigma_t dos retornos r_t da taxa de câmbio Real/USD pode dar uma indicação da variação da taxa. Vamos admitir que os retornos r_t siga uma distribuição normal.

Suponha que uma estimativa do desvio padrão hoje seja \sigma_t = 0, 46%. Então o VaR é calculado como:

    \[\text{VaR} = (1,65)(\sigma_t)\]

    \[(1,65)(0,46) = 0,759%\]

Portanto, não se espera que a taxa de câmbio caia mais do que 0,759%, com 95% de probabilidade. O valor 1 , 65 ´e o (0, 05)-quantil da N N (0, 1). Em reais, o VaR ´e o valor de mercado da posi¸c˜ao multiplicado pelo valor obtido acima, ou seja,

Risco = 100 milh˜oes ×× 0, 759% = 759.000, 00 reais.

A conclusão é que em 95% das vezes, não se perderá mais do que R$ 759.000,00 em um dia.

Um pouco mais formal, supomos que no instante t estejamos interessados em calcular o risco de uma posição financeira para o horizonte h \> 0. Seja

    \[\Delta P(h) = P(t+h) - P(t)\]

a variação do valor do ativo entre os dois instantes. A quantidade \Delta P(h) representa o lucro ou a perda (L & P) da posição sobre o horizonte h.

Chamemos de F h(··) a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de \Delta P(h).

Definimos o VaR de uma posição comprada sobre o horizonte h, com probabilidade p, 0 < p < 1, por meio de

    \[p = P(\Delta P(h) \leq VaR) = F_h (VaR)\]

{#eq-var}

Observemos que o VaR depende de p e de h, ou seja, deveríamos escrever VaR(p,h). Além disso, o valor em risco aumenta com p diminuindo ou com h aumentando.

Na figura abaixo, temos a distribuição dos log-retornos de um portfólio teórico, e que representa visualmente a compreensão do VaR.

Algumas observações sobre o VaR:

(i) O VaR  é dado em unidades monetárias (u.m.), por exemplo, em reais. Lembremos que os retornos simples, R_t, são dados em porcentagem e que os log-retornos, r_t, são aproximadamente iguais a R_t. Logo, podemos supor que os rt medem, aproximadamente, variações percentuais. Assim sendo, usaremos log-retornos no que segue.

(ii) A definição mostra que o VaR é o p-quantil da distribuição F_h (·). Na prática, teremos que estimar esse quintil, usando, por exemplo, a distribuição empírica dos retornos.

(iii) O VaR calculado tem valor negativo, pois quem tem uma posição comprada sofre uma perda se \Delta P(h) < 0.

(iv) A quantia em u.m. no cálculo do VaR é obtida como no exemplo, ou seja, multiplicando o valor da posição financeira pelo VaR do log-retorno. A posição financeira em u.m. é usualmente o valor do ativo marcado pelo mercado ("mark-to-market").

VaR com o GARCH

Lembremos que uma série de retornos é, em geral, não-correlacionada, mas dependente. Se este for o caso, a volatilidade é modelada por um modelo heteroscedásticos. Além disso, algumas séries de retornos podem exibir a presença de autocorrelação, havendo a necessidade de eliminá-la por meio do ajuste inicial de um modelo linear, por exemplo da família ARMA.

A estratégia, portanto, modelar a média da série de retornos r_t por meio de um modelo ARMA e depois modelar os resíduos a_t deste modelo por um membro da família ARCH.

onde \hat{r}_t (1) e \hat{\sigma}^2 (1) são as previsões a um passo da média e variância usando os modelos respectivos. Supondo-se, por exemplo, p = 0, 05,

    \[VaR = \hat{r}_t (1) − 1, 65 \hat{\sigma}^2 (1)\]

Basicamente, teremos um valor do VaR ao longo do tempo, em que calculamos a medida conforme os h passos de previsão da média e volatilidade.

Exemplo de VaR estimado com GARCH

Python

O gráfico abaixo representa os pontos que excederam a linha do VaR (x vermelho em 1% e quadrado rosa 5%) , com base na distribuição dos valores estimado pelo GARCH de dados do S&P 500

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Referências

MORETTIN, Pedro Alberto. Econometria financeira: um curso em séries temporais financeiras. . São Paulo: Edgard Blücher.

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