Como calcular retornos históricos de ações no Python?

Avaliar o desempenho de um ativo financeiro vai além de acompanhar sua valorização. Um dos pilares da gestão de investimentos é mensurar e entender o risco associado às flutuações de preço — e isso é feito, principalmente, por meio da análise dos retornos históricos dos ativos.

Em finanças, risco é geralmente interpretado como a variabilidade dos retornos. Essa variabilidade pode afetar significativamente o valor de uma carteira, sendo essencial para a construção de estratégias mais robustas de alocação. Para isso, trabalhamos preferencialmente com retornos históricos ao invés de preços absolutos, pois eles:

Representam variações percentuais (taxas de crescimento);
São livres de escala (comparáveis entre ativos com preços diferentes);
Apresentam propriedades estatísticas desejáveis, como estacionariedade e ergodicidade;
Permitem modelagem mais apropriada com técnicas estatísticas e econométricas.

Além disso, o uso de retornos históricos abre espaço para a aplicação de modelos como ARMA, ARCH, GARCH e modelos de volatilidade estocástica — ferramentas indispensáveis para previsão de risco, construção de portfólios e avaliação de estratégias de investimento sob diferentes cenários de mercado.

Usando Python para calcular retornos históricos

Com o Python, é possível calcular todas as métricas abaixo de forma simples e eficiente. Vamos ilustrar com um exemplo prático utilizando o Ibovespa, coletando dados diários do Yahoo Finance (ticker ^BVSP) no período de 2018 até o final de 2022.

Esse tipo de análise pode ser estendido para qualquer ativo ou portfólio e serve como base para:

Comparar ativos em termos de desempenho ajustado ao risco;
Estimar métricas históricas que alimentam modelos de otimização de carteiras;
Avaliar a estabilidade dos retornos históricos em diferentes regimes de mercado.

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Retornos Históricos:

1. Retorno Simples:

- A variação de preços entre os instantes $t-1$ e $t$ é dada por $\Delta P_t = P_t - P_{t-1}$ .
- A variação relativa de preços ou retorno líquido simples deste ativo entre os mesmos instantes é definida como: $R_t = \Delta P_t / P_{t-1}$ . É também chamada de Taxa de Retorno.
- Formulação matemática: $R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}$

2. Retorno Bruto Simples:

- Chamamos $1 + R_t = P_t / P_{t-1}$ de retorno bruto simples.
- O retorno bruto simples representa a variação de preços de um ativo sem a representação de taxas percentuais.
- Formulação matemática: $1 + R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}}$

	retorno_simples	retorno_bruto_simples
Date
2018-01-02	NaN	NaN
2018-01-03	0.001335	1.001335
2018-01-04	0.008360	1.008360
2018-01-05	0.005391	1.005391
2018-01-08	0.003895	1.003895
...	...	...
2022-12-23	0.022187	1.022187
2022-12-26	-0.008751	0.991249
2022-12-27	-0.003596	0.996404
2022-12-28	0.017444	1.017444
2022-12-29	-0.001869	0.998131

1238 rows × 2 columns

3. Retorno Composto Continuadamente (Log-Retorno):

- Usado para avaliar o desempenho de um investimento ao longo de um período contínuo.
- Calculado usando logaritmos naturais e a fórmula: $r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$

	retorno_simples	retorno_bruto_simples	log_retorno
Date
2018-01-02	NaN	NaN	NaN
2018-01-03	0.001335	1.001335	0.001334
2018-01-04	0.008360	1.008360	0.008325
2018-01-05	0.005391	1.005391	0.005377
2018-01-08	0.003895	1.003895	0.003888
...	...	...	...
2022-12-23	0.022187	1.022187	0.021944
2022-12-26	-0.008751	0.991249	-0.008790
2022-12-27	-0.003596	0.996404	-0.003602
2022-12-28	0.017444	1.017444	0.017294
2022-12-29	-0.001869	0.998131	-0.001870

1238 rows × 3 columns

4. Retorno Médio Aritmético:

- Calcula para obter o retorno médio de uma determinado período em um intervalo. Exemplo: em média, qual foi o retorno diário de uma ação durante um período?
- Calcula através de uma média simples: $\frac{1}{N-1}\Sigma_{i=1}^N R_t$
onde $N$ é tamanho da amostra/série.

Através do cálculo usando Python, para o caso do Ibovespa no período temos o valor de:

0.000427414617205675

5. Retorno Médio Geométrico:

- Calculado para investimentos de longo prazo, levando em consideração o reinvestimento de ganhos. Basicamente, é o retorno médio composto em todo o período de investimento
- Representa o crescimento composto e é calculado como: $\text{Retorno Geométrico} = \left[(1 + R_t) \cdot (1 + R_{t-1}) \cdot \ldots \cdot (1 + R_1)\right]^{\frac{1}{N}} - 1$

Através do cálculo usando Python, para o caso do Ibovespa no período temos o valor de:

0.00027930474673532046

Retornos Acumulados:

6. Retorno Simples Multiperíodos:

- Calculado para avaliar o desempenho de um investimento ao longo de vários períodos.
- Usado para somar os retornos simples em cada período.
- Formulação matemática: $\text{Retorno Simples Multiperíodos} = \prod_{i=1}^{N} (1 + R_i) - 1$

Para o caso do Ibovespa, o Retorno Acumulado no período é de:

0.41262790309535013

É possível acumular os valores em cada período até o fim da amostra, como demonstra o gráfico abaixo:

7. Retorno Composto Continuadamente (Log-Retorno) Multiperíodos:

- Usado para avaliar o desempenho de um investimento ao longo de múltiplos períodos de forma contínua.
- Calculado somando os log-retornos de cada período.
- Formulação matemática: $\text{Log-Retorno Multiperíodos} = \Sigma_{i=1}^Nr_t$

Para o caso do Ibovespa, o Retorno Acumulado Continuadamente no período é de:

0.34545173080294256

Retorno Anualizado:

8. Retorno Anualizado para Retornos Simples:

- Utilizado para expressar o retorno de um investimento em uma base anual, mesmo que o período de investimento seja menor que um ano.
- Calculado multiplicando o retorno simples pelo número de períodos em um ano.
- Formulação matemática: $\text{Retorno Anualizado Simples} = \frac{1}{N-1}\Sigma_{i=1}^N R_t \times 252$

Para o caso do Ibovespa no período, temos o seguinte valor:

0.1077084835358301

9. Retorno Anualizado para Retornos Geométricos:

- Usado para calcular o retorno anualizado de investimentos de longo prazo que consideram o reinvestimento de ganhos.
- Calculado usando a fórmula (para o caso de diário, com 252 dias úteis): $\text{Retorno Anualizado Geométrico} = \left[(1 + R_t) \cdot (1 + R_{t-1}) \cdot \ldots \cdot (1 + R_1)\right]^{\frac{252}{N}} - 1$

Para o caso do Ibovespa no período, temos o seguinte valor:

0.07291041355654992

10. Retorno Anualizado em Janelas Deslizantes

- Calcula a taxa de retorno média anualizada em períodos móveis, útil para análise de tendências e volatilidade ao longo do tempo.
- Para calcular o retorno anualizado móvel em uma janela deslizante, você calcula o retorno anualizado para cada janela e move a janela ao longo do conjunto de dados.
- A fórmula é a seguinte para o aritmético e geométrico, respectivamente:

$\text{Retorno Anualizado Simples} = \frac{1}{T-1}\Sigma_{i=1}^N R_t \times 252$

$\text{Retorno Anualizado Geométrico} = \left[(1 + Retorno\,Geométrico)^{\frac{252}{T}} - 1\right]$

Onde:

- $T$ é o tamanho fixo da janela (por exemplo, 252 para um ano ou 22 para um mês).

Volatilidade

1. Desvio Padrão (Volatilidade):

O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica a variabilidade dos retornos de um ativo ou investimento. Ele mede o grau de volatilidade do ativo.

Fórmula:
O desvio padrão é calculado da seguinte maneira para uma série de retornos:

$\text{Desvio Padrão} = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (R_i - \overline{R})^2}$

Onde:

- $N$ é o número de observações (dias, meses, anos, etc.).

- $R_i$ é o retorno no período $i$ .

- $\overline{R}$ é a média dos retornos.

O desvio padrão diário em toda a amostra dos retornos do Ibovespa no período foi de:

0.017108656414304535

2. Desvio Padrão Anualizado:

O desvio padrão anualizado é o desvio padrão dos retornos ajustado para um período anual. Isso é útil para comparar a volatilidade em uma base anual.

Fórmula:
Para anualizar o desvio padrão, você multiplica o desvio padrão da série de retornos por uma raiz quadrada do número de períodos em um ano (geralmente 252 para dias de negociação ou 12 para meses).

$\text{Desvio Padrão Anualizado} = \text{Desvio Padrão} \times \sqrt{N}$

Onde $N$ é o número de períodos de observação em um ano (por exemplo, 252 para dados diários e 12 para meses).

0.2715915008321991

3. Desvio Padrão Móvel (ou Desvio Padrão em Janelas Deslizantes):

O desvio padrão móvel é usado para avaliar a volatilidade ao longo do tempo, calculando o desvio padrão em janelas deslizantes (móveis) de dados.

Fórmula:
Para calcular o desvio padrão móvel em uma janela deslizante, você calcula o desvio padrão para cada janela e move a janela ao longo do conjunto de dados.

$\text{Desvio Padrão Móvel} = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{i=1}^{T} (R_i - \overline{R})^2}$

Onde:

- $T$ é o tamanho da janela (por exemplo, 252 para um ano ou 22 para um mês).

- $R_i$ são os retornos dentro da janela.

- $\overline{R}$ é a média dos retornos dentro da janela.

Para o caso do Ibovespa, os seguintes valores para o desvio padrão em janelas deslizantes de 44 dias, tanto diário, quanto anualizado se encontram nos respectivos gráficos abaixo:

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Referências

ELTON, Edwin J.; GRUBER, Martin J.; BROWN, Stephen J.; GOETZMANN, William N.
Modern portfolio theory and investment analysis. 9. ed. Hoboken: Wiley, 2014.

TSAY, Ruey S.
Analysis of financial time series. 3. ed. Hoboken: Wiley-Interscience, 2010.

Morettin, P. A..

Econometria financeira: um curso em séries temporais financeiras. Editora Blucher. 3 ed. 2017.

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