Seleção de Carteiras e Teoria de Markowitz

A gestão de portfólio tem como seu máximo expoente Harry Markowitz, pioneiro da seleção da carteira e da teoria que leva o seu próprio nome: Teoria de Markowitz. A teoria teve um impacto enorme no mundo das finanças, cumprindo o objetivo de minimizar o risco de uma carteira de investimento e rendendo ao autor até mesmo um prêmio Nobel. No post de hoje, iremos dar uma olhada na teoria da seleção de carteira e na teoria de Markowitz.

A gestão de portfolio tem como principal objetivo lidar com a gestão de risco de um número de ativos financeiros em um conjunto em que todos os ativos estão contidos na mesma carteira de investimentos. Mas afinal, qual o beneficio da escolha de vários ativos financeiros em uma carteira? A questão é que, por suposição, quanto maior o número de ativos em uma carteira, menos risco o investidor incorrerá, mas como isso é possível?

Dado o contexto de que o Retorno de um ativo é dado por:

$R_t = ln(\frac{P_t}{P_t-1})$

Ou seja, o log-retorno $R_t$ é dado pelo logaritmo natural do preço de hoje divido pelo preço de ontem.

O retorno de um ativo é a estrutura do estudo, pois é basicamente dele que é encontrado duas importantes medidas de estimação para que possamos realizar o cálculo do risco do nosso conjunto de ativos e encontrar os pesos ideais de um portfólio, essas duas medidas são a média e a variância (mean-variance).

A média dos retornos, a grosso modo, seria o Retorno Esperado no nosso investimento, baseado na média amostral dos retornos históricos do nossos ativos.

$E(R) = \frac{\sum_{t = 1}^{T}(R_it)}{T}$

Por outro lado, a variância, ou o que em finanças é chamado de volatidade ou risco, também mensurado pelo desvio padrão, que é dado por:

$\sigma^2 = \frac{(E[(R_i - \mu)^2])}{T-1}$

Dito isso, sabemos que estamos lidando com ativos individuais, porém, como o contexto é dado pelo retorno de um conjunto de ativos, devemos calcular os estimadores corretos, buscando encontrar o retorno e a variância do portfólio.

O Retorno de um portfólio é calculado como:

$R_p = \sum_{i=1}^n(W_iR_i)$

Ou seja, o retorno do ativo $i$ ponderado pelo seu peso $w_i$ .

Para o seu retorno esperado, calcula-se como a média amostral de seus retornos passados, assim como o retorno esperado de um único ativo

Por outro lado, a variância de um portfólio não é igual ao calculo da variância de um ativo individual. Quando estamos falando em risco de um ativo, sabe-se que eles podem incorrer dos mesmo riscos. Seja dois ativos que possuem risco cambial ou risco de mercado, tem-se que levar em conta essas duas questões ao realizar o calculo do risco de um portfólio.

Portanto, para computar esses tipos de riscos, podemos fazer isso através de duas importantes medidas estatística: covariância e correlação

A covariância permite que seja calculado a dependência linear entre as variáveis. O mesmo serve para a correlação, que diferente da covariância, é uma medida em forma percentual. Quando medimos a covariância (ou correlação) de dois ou mais ativos, estamos considerando o quanto os ativos se movimentam em relação ao outro, se positivamente ou negativamente.

Calculamos a covariância como:

$\sigma_{jk}=\frac{\sum_{t=1}^T[R_{jt}-\bar{R}_j][R_{kt}-\bar{R}_k]}{T-1}$

Quando ocorre de os ativos terem covariância negativa, a variância ou risco do portfólio tende a diminuir. Quando a covariância é positiva, o risco do portfólio tende a aumentar. Essa questão é um principio básico da diversificação. Quanto menor a covariância dos ativos em uma carteira, menor o risco, quanto maior a covariância, maior o risco.

Sendo assim, calcula-se o risco (variância) de um portfólio como:

$\sigma_P=\sqrt{\sum_{j=1}^N(w_j^2 \sigma_j^2)+\sum_{j=1}^N\sum_{\substack {k=1 \\ k \neq j}}^N(w_j w_k \sigma_{jk})}$

Mas todo o papel da covariância e variância dos ativos individuais em uma carteira, dependerá de seus pesos. Isto leva a crer que pode existir um combinação grande de pesos para uma só carteira, e o investidor se vê tentado a tentar uma combinação que melhor satisfaça suas preferências. Em muitos casos, a preferência que melhor pode atender a todos será a combinação de pesos de ativos que melhor minimize o risco do portfólio.

Para isso, Markowitz criou um método para que seja possível descobrir o pesos tal qual a relação de risco x retorno melhor se satisfaz dentro de um contexto que o retorno esperado é dado pela média amostral dos retornos e o risco é dado pela variância e covariância dos ativos.

O ponto em que é conhecido como aquele em que é minimizado o risco dados os estimadores, é conhecido como portfólio de variância mínima. Esse ponto é resolvido a partir de um problema de otimização, que possui algumas restrições; 1) a soma das proporções alocadas em cada ativo tem que ser igual a um; 2) cada ativo tem que ter peso maior ou igual a zero; 3) em cada problema escolhemos um retorno esperado para o qual minimizaremos o risco.

A otimização é dado por:

$min_{w_i} \sum_{j=1}^N(w_j^2 \sigma_j^2)+\sum_{j=1}^N\sum_{\substack{k=1 \\ k \neq j}}^N(w_j w_k \sigma_{jk})$

s.a.

$\sum_{j=1}^N w_j = 1$

$w_j \geq 0, \forall i$

$\sum_{j=1}^N w_i\bar{R}_j = \bar{R}_p$

Como dito, a solução deste problema nos dá os pesos ótimos para investir em cada um dos ativos.

A partir da teoria, podemos calcular o ponto mínimo de um portfólio dentro do R. Para isso, utilizamos o pacote {PortfolioAnalytics}, que permite configurar um portfólio e calcular a partir de restrições escolhidas.

Primeiro, devemos coletar os dados dos ativos.

library(quantmod)
library(PerformanceAnalytics)
library(PortfolioAnalytics)
library(tidyverse)

Como obrigatório, devemos ter em mãos os retorno dos nossos ativos.

# Define os ativos que irão ser coletados

tickers <- c("PETR4.SA", "ITUB4.SA", "ABEV3.SA", "JBSS3.SA")

# Define a data de início da coleta

start <- as.Date("2016-12-01")

# Realiza a coleta dos preços diários

prices <- getSymbols(tickers,
auto.assign = TRUE,
warnings = FALSE,
from = start,
src = "yahoo") %>%
map(~Cl(get(.))) %>%
reduce(merge) %>%
`colnames<-`(tickers)

# Transfroma os preços diários em mensais

prices_monthly <- to.monthly(prices,
indexAt = "lastof",
OHLC = FALSE)

# Calcula os retornos mensais

asset_returns <- Return.calculate(prices_monthly,
method = "log") %>%
na.omit()

Com os retornos em mãos, configuramos as restrições e os objetivos do nosso portfólio.


# Define os nomes dos ativos na especificação

portfolio_spec <- portfolio.spec(assets = tickers)

# Considera que a soma dos pesos será igual a 1

portfolio_spec <- add.constraint(portfolio = portfolio_spec,
type = "full_investment")

# Não permite vendas a descoberto

portfolio_spec <- add.constraint(portfolio = portfolio_spec,
type = "long_only")

# Adiciona os objetivos - Retorno esperado através da média amostral

portfolio_spec <- add.objective(portfolio = portfolio_spec,
type = "return",
name = "mean")

# Adiciona os objetivos - Risco esperado através do desvio padrão

portfolio_spec <- add.objective(portfolio = portfolio_spec,
type = "risk",
name = "StdDev")

Por fim calculamos o portfolio através da otimização pelo método "random" no qual o solver irá ser uma combinação de diferentes pesos do portfólio.


# Calcula a otimização do portfólio

opt <- optimize.portfolio(asset_returns,
portfolio = portfolio_spec,
optimize_method = "random",
trace = TRUE)

# Plota o gráfico de Risco x Retorno

chart.RiskReward(opt,
risk.col = "StdDev",
return.col = "mean",
chart.assets = TRUE,
main = "Risco x Retorno - Combinações dos ativos selecionados")

Vemos no gráfico os resultados de retorno e risco para as diferentes combinações de pesos dos ativos no portfólio. O ponto azul, é o ponto que minimiza os risco de acordo com a equação de Markowitz.

________________________

(*) Para entender mais sobre Mercado Financeiro, seleção de carteira e a Teoria de Markowitz, confira nosso curso de R para o Mercado Financeiro.
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