Volatilidade de Ativos e Modelos de Volatilidade

Introdução

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo e a volatilidade de ativos é talvez a medida de risco mais utilizada. Há, entretanto, diversas medidas de volatilidade. Portanto, no post de hoje, iremos verificar as características da volatilidade, os principais modelos e a possibilidade de estimação usando o R e o Python.

O objetivo aqui será o de entender as características da volatilidade de ativos, bem como estudar modelos que possam ser aplicados para explicá-la.

Para obter todo o código do processo de criação dos gráficos abaixo, faça parte do Clube AM, o repositório de códigos da Análise Macro, contendo exercícios semanais.

Características da Volatilidade

Ainda que a volatilidade seja bem definida, ela não é diretamente observada na prática. Nós observamos os preços dos ativos e seus derivativos. A volatilidade deve ser, então, estimada com base nesses preços observados.

Ainda que a volatilidade não seja diretamente observada, ela apresenta algumas características comuns associadas aos retornos dos ativos. Listamos abaixo algumas delas:

A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura chama de ;
A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que não são comuns;
A volatilidade costuma variar em um intervalo fixo;
A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.

Essas características implicam que, de modo geral, a volatilidade é uma série estacionária. Ademais, essas características determinam a forma como os modelos serão construídos.

De fato, alguns modelos de volatilidade são formatados justamente para corrigir a inabilidade dos atualmente existentes em capturar algumas das características mencionadas acima.

Na prática, estima-se a volatilidade de um ativo com base nos seus preços ou derivativos. Tipicamente, três tipos de volatilidade são consideradas:

Volatilidade como o desvio-padrão condicional dos retornos diários, a base do que veremos nessa seção;
Volatilidade implícita, obtida a partir de fórmulas de precificação (como Black-Scholes), com base nos preços do mercado de opções, é possível deduzir a volatilidade do preço da ação. Um exemplo, como visto acima, desse tipo de procedimento é o VIX Index;
Volatilidade realizada, obtida com base em dados financeiros de alta frequência, como, por exemplo, retornos intraday de 5 minutos.

Estrutura do modelo

Tomemos $r_t$ como o log retorno de um ativo no tempo $t$ . A ideia básica por trás do estudo de volatilidade é que a série $\left [ r_t \right ]$ está serialmente não correlacionada ou com pequenas correlações em série de ordem menor, mas que é uma série dependente.

Para ilustrar, considere o log retorno do preço de fechamento das ações da Amazon no período de 2014 até 2018. É importante notar, através do gráfico de Autocorrelação, a diferença do retornos para os retornos absolutos.

Conquanto a série de log retorno aparenta ser estacionária, as funções de autocorrelação sugerem uma correlação serial não significativa quando considerada a série $r_t$ .

Já quando consideramos $|r_t|$ , a série se mostra serialmente correlacionada (é possível confirmar esse tipo de questão utilizando o teste *Ljung-Box*.

Consequentemente, os log retornos mensais se mostram serialmente não correlacionadas, porém dependentes. Essa é a característica que um modelo de volatilidade univariada é designado a capturar.

De modo a colocar os modelos de volatilidade em uma perspectiva apropriada, é informativo considerar a média e a variância condicionais de $r_t$ dado $F_{t-1}$ , isto é,

$\mu_t = E(r_t|F_{t-1}) \quad \quad \sigma_t^{2} = Var(r_t|F_{t-1}) = E\left [ (r_t - \mu_t)^2 | F_{t-1} \right ],$

onde $F_{t-1}$ é o conjunto de informação disponível no período $t-1$ . Tipicamente, $F_{t-1}$ consiste em todas as funções lineares dos retornos passados.

Modelos de heterocedasticidade condicional, a propósito, podem ser classificados em duas categorias gerais. Na primeira categoria estão aqueles que utilizam uma função determinística para descrever a evolução de $\sigma_t^2$ , já na segunda estão aqueles que utilizam uma equação estocástica para tal.

De modo a construir nosso modelo de volatilidade, a equação para $\mu_t$ deveria ser simples, de modo que nós assumimos que $r_t$ segue uma média zero, uma média constante ou um modelo de série temporal simples tal qual um modelo $ARMA(p,q)$ .

Assim, dado que $r_t = \mu_t + a_t$ , $\mu_t$ será dado por

(1) $\begin{align*} \mu_t = \phi_0 + \sum_{i=1}^{p} \phi_i r_{t-i} - \sum_{j=1}^{q} \theta_j a_{t-j}. \end{align*}$

Se algumas variáveis explanatórias estiverem disponíveis, nós podemos aumentar o modelo $r_t = \mu_t + a_t$ , onde

$\mu_t = \phi_0 + \sum_{i=1}^{k} \beta_i x_{i,t-1} + \sum_{i=1}^{p} \phi_i y_{t-i} - \sum_{j=1}^{q} \theta_j a_{t-j},$

{#eq-mu} onde $y_{t-i} = r_{t-i} - \phi_0 - \sum_{i=1}^{k} \beta_i x_{i,t-i-1}$ denomina a série de retorno ajustada após remoção do efeito das variáveis explanatórias, e $x_{i,t-j}$ são as variáveis explanatórias disponíveis no período $t-j$ .

Por fim, $a_t$ será referido como um choque ou inovação do retorno de um ativo no período $t$ . O modelo para $\mu_t$ em @eq-mu é referido como equação da média para $r_t$ e o modelo para $\sigma_t^2$ é a equação de volatilidade para $r_t$ .

Assim, modelar heterocedasticidade condicional equivale a aumentar a equação dinâmica que determina a evolução ao longo do tempo da variância condicional do retorno do ativo a partir de um modelo de série temporal.

Construção do modelo

Construir um modelo de volatilidade para uma série de retorno de ativo consiste em quatro etapas:

Especificar uma equação da média testando para dependência serial nos dados e, se necessário, construir um modelo econométrico para a série de retorno de modo a remover qualquer dependência linear;
Utilizar os resíduos da equação da média para testar efeitos ARCH;
Especificar um modelo de volatilidade se o efeito ARCH foi estatisticamente significativo e performar uma estimativa conjunta da equação da média e da volatilidade;
Checar o modelo estimado com cuidado e refinar, caso necessário.

Especificando a equação da média

Para a maioria das séries de retorno de ativos, a correlação serial é fraca, se existente. Assim, construir uma equação da média equivale a remover a média amostral dos dados se a média amostral é significativamente diferente de zero. Para algumas séries de retorno diário, um AR simples pode ser suficiente.

Em alguns casos, porém, a equação da média pode precisar de algumas variáveis explanatórias tal qual uma variável indicativa de feriados ou efeitos sazonais. Em outros casos, ademais, a equação da média consiste apenas em uma constante.

Desvio padrão anualizado Móvel

Existem muitas formas de estimar a volatilidade de um ativo financeiro. Lembramos que retorno de um ativo financeiro pode ser considerado uma variável aleatória, que possui uma distribuição próxima da normal (gaussiana).

O desvio padrão, um dos parâmetros da distribuição gaussiana, como medida que representa o Risco/Volatilidade do ativo financeiro, devido a sua capacidade de mensurar o desvio em relação ao retorno do ativo.

Um alto valor do desvio padrão, significa que a distribuição é ampla e que o preço do ativo pode subir e cair muito, por outro lado, valores pequenos dos desvios representam que a distribuição é estreita e que o preço do ativo não varia muito.

Vejamos uma forma interessante de mensurar a volatilidade por meio do desvio padrão anualizado em janelas de tempo de 1 mês em dias úteis (22 dias).

A equação do indicador construído abaixo é representado por

$\sigma^2 =\frac{1}{M-1} \sum_{i=1}^M E[(R_t - E(R_t)^2] \times \sqrt{252}$

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} \times \sqrt{252}$

O gráfico abaixo representa o Desvio Padrão Anualizado em janelas móveis de 22 dias dos retornos simples da ação PETR4. Veja o comportamento da série, é possível notar os períodos de baixa e alta volatilidade.

ARCH

O primeiro modelo que proveu um framework sistemático para a volatilidade é o ARCH, acrônimo para Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.

A ideia básica desse tipo de modelo é que (i) o choque $a_t$ de um retorno de ativo é serialmente não correlacionado, mas dependente; e (ii) a dependência de $a_t$ pode ser descrita por uma função quadrática dos seus valores defasados, isto é,

$a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \sigma_{t-1}^2 + ... + \alpha_m \sigma_{t-m}^2$

{#eq-arch}

onde $\left \{ \varepsilon_t \right \}$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas com média zero e variância igual 1, $\alpha_0 > 0$ e $\alpha_i \geq 0$ para $i > 0$ (os coeficientes $\alpha_i$ devem satisfazer algumas condições de regularidade de modo a garantir que a variância incondicional de $a_t$ seja finita).

Modelos do tipo ARCH oferecem algumas vantagens para se analisar retornos de ativos, dentre as quais se destacam: (i) o modelo pode produzir volatility clusters; (ii) os choques $a_t$ do modelo possuem caudas densas. A despeito disso, é preciso considerar algumas restrições desse tipo de modelo, a saber:

O modelo assume que choques negativos e positivos possuem o mesmo efeito sobre a volatilidade;
O modelo ARCH é bastante restritivo, o que limita sua habilidade em capturar excessos de curtose;
O modelo ARCH não provê nenhum novo para entender a fonte das variações em séries temporais financeiras. Ele apenas provê uma forma mecânica de descrever o comportamento da variância condicional;
Modelos ARCH são predispostos a superestimar a volatilidade porque eles respondem devagar a choques grandes, porém isolados, sobre séries de retorno.

Abaixo, podemos verificar os resultados estatísticos de um ARCH estimado via a biblioteca arch do Python. Os mesmos resultados podem ser obtidos no R por meio do pacote rugarch.

Código

                        Zero Mean - ARCH Model Results                        
==============================================================================
Dep. Variable:              Adj Close   R-squared:                       0.000
Mean Model:                 Zero Mean   Adj. R-squared:                  0.001
Vol Model:                       ARCH   Log-Likelihood:                2876.45
Distribution:                  Normal   AIC:                          -5748.91
Method:            Maximum Likelihood   BIC:                          -5738.54
                                        No. Observations:                 1320
Date:                Mon, Jul 03 2023   Df Residuals:                     1320
Time:                        13:48:50   Df Model:                            0
                              Volatility Model                              
============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      95.0% Conf. Int.
----------------------------------------------------------------------------
omega      5.6969e-04  5.056e-05     11.266  1.922e-29 [4.706e-04,6.688e-04]
alpha[1]       0.3451      0.103      3.350  8.074e-04     [  0.143,  0.547]
============================================================================

Covariance estimator: robust

Código

omega       0.000570
alpha[1]    0.345102
Name: params, dtype: float64

GARCH

Apesar do modelo ARCH ser simples, ele geralmente requer muitos parâmetros de modo a descrever adequadamente a volatilidade dos retornos dos ativos. De modo a manter o modelo simples, algumas alternativas podem ser pensadas. Uma delas é considerar para uma série de log retorno $r_t$ , sendo $a_t = r_t - \mu_t$ um choque no período $t$ , de modo que $a_t$ segue um modelo ARCH generalizado, isto é, um GARCH(m,s), tal que

$a_t = \sigma^t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{m} \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{s} \beta_j \sigma_{t-j}^2,$

{#eq-garch}

onde $\left \{ \varepsilon_t \right \}$ é também uma sequência de variáveis aleatórias iid com média zero e variância igual a 1, $\alpha_0 > 0$ , $\alpha_i \geq 0$ , $\beta_j \geq 0$ e $\sum_{i=1}^{max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) < 1$ .

De modo a entender as propriedades do modelo GARCH, convém fazer algumas modificações em @eq-garch. Tomemos $\eta_t = a_t^{2} - \sigma_t^{2}$ , assim $\sigma_t^{2} = a_t^2 - \eta_t$ .

Iterando $\sigma_{t-i}^2 = a_{t-i}^2 - \eta_{t-i}$ para $(i = 0,...,s)$ na equação @eq-garch, nós podemos reescrever o modelo GARCH como

$a_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) a_{t-i}^2 + \eta_t + \sum_{j=1}^{s} \beta_j \eta_{t-j}$

{#eq-garch2} Assim, o modelo GARCH pode ser considerado uma aplicação da ideia dos modelos ARMA ao quadrado de $a_t$ .

Abaixo, podemos verificar os resultados estatísticos de um ARCH estimado via a biblioteca arch do Python. Os mesmos resultados podem ser obtidos no R por meio do pacote rugarch.

Código

                       Zero Mean - GARCH Model Results                        
==============================================================================
Dep. Variable:              Adj Close   R-squared:                       0.000
Mean Model:                 Zero Mean   Adj. R-squared:                  0.001
Vol Model:                      GARCH   Log-Likelihood:                2947.35
Distribution:                  Normal   AIC:                          -5888.70
Method:            Maximum Likelihood   BIC:                          -5873.14
                                        No. Observations:                 1320
Date:                Mon, Jul 03 2023   Df Residuals:                     1320
Time:                        13:48:51   Df Model:                            0
                              Volatility Model                              
============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      95.0% Conf. Int.
----------------------------------------------------------------------------
omega      9.5348e-05  3.828e-05      2.491  1.274e-02 [2.032e-05,1.704e-04]
alpha[1]       0.2000  9.642e-02      2.074  3.805e-02   [1.103e-02,  0.389]
beta[1]        0.7000      0.102      6.871  6.388e-12     [  0.500,  0.900]
============================================================================

Covariance estimator: robust

Código

omega       0.000095
alpha[1]    0.200000
beta[1]     0.700000
Name: params, dtype: float64

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