Volatilidade do bitcoin: HAR vs. aprendizado de máquina no Python

Neste exercício mostramos como realizar a previsão da Volatilidade do Bitcoin em USD através do modelo HAR. Realizamos uma comparação da especificação proposta dos modelos tipo HAR type utilizando modelos de machine learning. O procedimento de coleta, tratamento e modelagem é realizado através do Python.

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Introdução

O modelo HAR (Heterogeneous Autoregressive Model) é um modelo de previsão de volatilidade que considera diferentes horizontes temporais, como diário, semanal e mensal. Ele é especialmente útil para capturar a natureza persistente da volatilidade em mercados financeiros. A ideia central é que a volatilidade atual pode ser influenciada pela volatilidade observada em diferentes intervalos de tempo.

Estrutura do Modelo HAR

A fórmula básica do modelo HAR é:

$RV_t = \beta_0 + \beta_1 RV_{t-1} + \beta_2 RV_{t-1}^{(w)} + \beta_3 RV_{t-1}^{(m)} + \epsilon_t$

Onde:

- $RV_t$ é a volatilidade realizada no dia $t$ .

- $RV_{t-1}$ é a volatilidade realizada no dia anterior.

- $RV_{t-1}^{(w)}$ é a média da volatilidade realizada na semana anterior.

- $RV_{t-1}^{(m)}$ é a média da volatilidade realizada no mês anterior.

- $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3$ são parâmetros a serem estimados.

- $\epsilon_t$ é o termo de erro.

Para o caso do exercício, a Volatilidade Realizada calculada é a seguinte:

$RV_t \equiv \sum_{j=1}^{M} r_{t,j}^2$

HAR-J

Existem diversos tipos de modelos do tipo HAR. Um deles é conhecido como HAR-J, que é uma extensão do modelo HAR padrão que incorpora um componente de salto diário ( $J_t$ ) para capturar saltos bruscos na volatilidade. A inclusão desse componente permite ao modelo capturar melhor a dinâmica da volatilidade, especialmente em mercados financeiros onde saltos repentinos são comuns.

A fórmula do modelo HAR-J é:

$RV_{t+h} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(1)} + \beta_w RV_t^{(5)} + \beta_m RV_t^{(22)} + \beta_j J_t + \epsilon_{t+h}$

Onde:

- $RV_{t+h}$ é a volatilidade realizada no dia $t+h$ .

- $RV_t^{(1)}$ é a volatilidade realizada diária.

- $RV_t^{(5)}$ é a média da volatilidade realizada nos últimos 5 dias (semanal).

- $RV_t^{(22)}$ é a média da volatilidade realizada nos últimos 22 dias (mensal).

- $J_t$ é o componente de salto.

- $\beta_0, \beta_d, \beta_w, \beta_m, \beta_j$ são os parâmetros a serem estimados.

- $\epsilon_{t+h}$ é o termo de erro.

Componente de Salto ( $J_t$ )

O componente de salto $J_t$ é definido como a diferença entre a volatilidade realizada ( $RV_t$ ) e a variação bipower ( $BPV_t$ ), mas somente quando essa diferença é positiva. Isso permite ao modelo capturar apenas os saltos positivos na volatilidade, que são frequentemente indicativos de eventos bruscos ou choques no mercado.

$J_t = \max(RV_t - BPV_t, 0)$

A variação bipower ( $BPV_t$ ) é calculada usando a seguinte fórmula:

$BPV_t = \left(\frac{2}{\pi}\right) \sum_{j=2}^{M} |r_{t,j-1}||r_{t,j}|$

Onde $r_{t,j}$ são os retornos logarítmicos.

Modelagem

O modelo HAR pode ser estimado via MQO, utilizando uma regressão linear múltipla. Comparações são feitas com extensões da regressão linear e modelos de machine learning. Os modelos utilizados são:

- LinearRegression

- Ridge

- Lasso

- LinearSVR

- RandomForestRegressor

Os dados são diários, com a amostra iniciando em 2018 e terminando no final de maio de 2024. Metade da amostra é separada para treino, enquanto o restante é utilizado para teste. Para o backtesting, utilizou-se a validação cruzada com janela expansiva, realizando previsões para 5 dias à frente e reestimando o modelo ao fim de cada horizonte.

Análise de dados

O gráfico mostra uma tendência geral de alta no preço do Bitcoin em USD desde o final de 2018. No entanto, existem períodos de flutuações consideráveis, com quedas acentuadas seguidas de recuperação.

O Bitcoin teve um período de alta volatilidade em 2021, com quedas e recuperação significativas durante o ano.
O Bitcoin experimentou uma queda acentuada no final de 2021 e início de 2022, com um período de recuperação mais gradual depois.
O preço do Bitcoin parece ter se estabilizado um pouco em 2022 e 2023, embora tenha mostrado uma tendência de alta novamente em 2024.

O gráfico de log-retornos do Bitcoin demonstra um padrão interessante:

Volatilidade: Os log-retornos oscilam ao redor de zero, indicando uma volatilidade constante ao longo do período.
Picos de Volatilidade: Há alguns picos significativos de volatilidade, como o ocorrido em 2020, que indicam eventos de alta volatilidade no mercado.
Distribuição: A distribuição dos log-retornos parece ser próxima de uma distribuição normal, com a maior parte dos valores concentrada em torno de zero.

2. Volatilidade Realizada:

O gráfico de volatilidade realizada mostra como a volatilidade do Bitcoin se manifesta ao longo do tempo:

Pico em 2020: Existe um pico acentuado de volatilidade no início de 2020, coincidente com a queda no preço do Bitcoin. Isso indica um período de grande incerteza e instabilidade no mercado.
Flutuações: A volatilidade realizada apresenta flutuações consideráveis ao longo do período, com períodos de alta e baixa volatilidade.
Tendência: A volatilidade realizada tende a diminuir gradualmente após 2020, indicando uma redução na incerteza do mercado.

3. Saltos:

O gráfico de saltos evidencia os momentos de maior variação no preço do Bitcoin:

Pico em 2020: Assim como nos gráficos anteriores, o gráfico de saltos apresenta um pico significativo em 2020, sinalizando uma mudança repentina e significativa no preço do Bitcoin.
Eventos Discretos: O gráfico de saltos destaca eventos discretos de alta volatilidade, que provavelmente representam eventos como crises ou grandes notícias.
Tendência: A frequência e intensidade dos saltos diminuem após 2020, corroborando a tendência de menor volatilidade observada nos outros gráficos.

O gráfico apresenta a decomposição da volatilidade realizada do Bitcoin em suas componentes de tendência, sazonalidade e resíduo.

1. Tendência:

A tendência da volatilidade realizada mostra um aumento gradual da volatilidade até 2020, seguido por uma redução e estabilização.

2. Sazonalidade:

A sazonalidade da volatilidade realizada é relativamente baixa, com pequenas flutuações ao longo do tempo.

3. Resíduo:

O componente de resíduo, que representa a parte da volatilidade não explicada pela tendência e sazonalidade, é geralmente baixo e oscila ao redor de zero.
Há alguns picos discretos de resíduo em 2020.

A análise conjunta do ACF e PACF da volatilidade realizada do Bitcoin indica que a série possui autocorrelação significativa e persistente, com um padrão periódico, como observado no ACF. No PACF, o primeiro lag apresenta autocorrelação significativa, enquanto os lags seguintes são próximos de zero, sugerindo um processo AR(1), ou seja, a volatilidade atual é influenciada principalmente pela volatilidade do período anterior.

Previsões

Abaixo, as métricas de MSE e as previsões dos modelos no período de teste da validação cruzada.

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