[Dicas de R] Regressão Múltipla

Em post anterior das Dicas de R, vimos o modelo de regressão simples, onde $y$ pode ser explicado por uma única variável $x$ . O problema básico desse tipo de análise é que ela faz uma suposição bastante forte, qual seja, que $x$ não está correlacionado com o erro, dificultando a aplicação da condição ceteris paribus. A análise de regressão múltipla, por outro lado, é mais receptiva a esse tipo de condição, uma vez que ela permite que controlemos outros fatores que afetam $y$ , adicionando os mesmos na equação. Assim, por suposto, se queremos explicar $y$ , podemos utilizar $k$ variáveis, como abaixo:

(1) $\begin{align*} y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + ... + \beta_k x_k + u, \end{align*}$

onde $\beta_0$ é o intercepto, $\beta_k$ é o parâmetro associado a $x_k$ . De modo a obter uma estimativa para 1, devemos observar que

(2) $\begin{align*} E(u|x_1, x_2, ..., x_k) = 0. \end{align*}$

Isto é, que todos os fatores no termo de erro não observado $u$ sejam não correlacionados com as variáveis explicativas. De modo a obter estimativas para os $\beta_k$ parâmetros, é possível recorrer ao método de mínimos quadrados ordinários. Isto é, dado

(3) $\begin{align*} \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_1 + \hat{\beta_2} x_2 + ... + \hat{\beta_k} x_k, \end{align*}$

onde $\hat{\beta_k}$ é a estimativa de $\beta_k$ , o método de MQO escolhe as estimativas $\hat{\beta_k}$ que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:

(4) $\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik})^2. \end{align*}$

O problema acima pode ser resolvido por meio de cálculo multivariado, de onde obtemos as condições de primeira ordem

(5) $\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i1} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i2}(y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{ik}(y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0, \nonumber \end{align*}$

ou simplesmente, $E(u) = 0$ e $E(x_j u) = 0$ .

# Interpretação da equação de regressão de MQO

Suponha que tenhamos

(6) $\begin{align*} \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_1 + \hat{\beta_2} x_2. \end{align*}$

O intercepto $\beta_0$ será então o valor previsto de $y$ quando $x_1 = x_2 = 0$ . Já as estimativas $\hat{\beta_1}$ e $\hat{\beta_2}$ devem ser interpretadas como efeito parcial ou simplesmente ceteris paribus. Isto é,

(7) $\begin{align*} \Delta \hat{y} = \hat{\beta_1} \Delta x_1 + \hat{\beta_2} \Delta x_2, \nonumber \end{align*}$

de modo que obtemos a variação prevista em $y$ dadas as variações em $x_1$ e $x_2$ . Em particular, quando $x_2$ é mantido fixo, de modo que $\Delta x_2 = 0$ , teremos

(8) $\begin{align*} \Delta \hat{y} = \hat{\beta_1} \Delta x_1. \nonumber \end{align*}$

Ou, simplesmente,

(9) $\begin{align*} \frac{\partial \hat{y}}{\partial \hat{x_1}} = \hat{\beta_1}, \nonumber \end{align*}$

onde $\hat{\beta_1}$ irá medir o efeito da variação de $x_1$ em $y$ , mantido $x_2$ constante.

# Exemplo: equação do salário-hora

De modo a ilustrar, vamos considerar o exemplo 3.2 de Wooldridge (2003), em que o mesmo utiliza o conjunto de dados wage1, disponível no pacote wooldridge. Ele pode ser acessado como abaixo.


library(wooldridge)
data(wage1)

modelo = lm(log(wage) ~ educ+exper+tenure, data=wage1)

E abaixo, o nosso modelo.


	Dependent variable:

	log(wage)

educ	0.092^***
	(0.007)

exper	0.004^**
	(0.002)

tenure	0.022^***
	(0.003)

Constant	0.284^***
	(0.104)


Observations	526
R²	0.316
Adjusted R²	0.312
Residual Std. Error	0.441 (df = 522)
F Statistic	80.391^*** (df = 3; 522)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

De modo a obter a seguinte reta de regressão para o log do salário-hora

(10) $\begin{align*} \hat{log(wage)} = 0.284 + 0.092 educ + 0.0041 exper + 0.022 tenure. \end{align*}$

De onde se conclui, por exemplo, que o aumento de um ano na educação formal equivale a um aumento de 9.2% no salário-hora, mantidos exper e tenure fixos.

Quer aprender mais sobre econometria? Conheça nosso Curso de Introdução à Econometria usando o R.

_______________________

Wooldridge, J. M. 2013. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Editora Cengage.

Compartilhe esse artigo

Comente o que achou desse artigo

Boletim AM

Encontre o seu conteúdo

Categorias

Artigos mais acessados

Como planejar um pipeline de previsão macroeconômica: da coleta ao dashboard

Coletando e integrando dados do BCB, IBGE e IPEA de forma automatizada

Criando operações SQL com IA Generativa no R com querychat

Dashboard Financeiro com IA e Shiny Python: Análise de Dados Abertos da CVM

Econometria, ML ou IA para previsão da PMS?

Econometria, ML ou IA para previsão da PMC?

Outros artigos relacionados

Como planejar um pipeline de previsão macroeconômica: da coleta ao dashboard

Montar um pipeline de previsão macroeconômica não é apenas uma tarefa técnica — é um exercício de integração entre dados, modelos e automação. Neste post, apresento uma visão geral de como estruturar esse processo de ponta a ponta, da coleta de dados até a construção de um dashboard interativo, que exibe previsões automatizadas de inflação, câmbio, PIB e taxa Selic.

Coletando e integrando dados do BCB, IBGE e IPEA de forma automatizada

Quem trabalha com modelagem e previsão macroeconômica sabe o quanto é demorado reunir dados de diferentes fontes — Banco Central, IBGE, IPEA, FRED, IFI... Cada um com sua API, formato, frequência e estrutura. Esse gargalo de coleta e padronização consome tempo que poderia estar sendo usado na análise, nos modelos ou na comunicação dos resultados.

Foi exatamente por isso que criamos uma rotina de coleta automatizada, que busca, trata e organiza séries temporais econômicas diretamente das APIs oficiais, pronta para ser integrada a pipelines de previsão, dashboards ou agentes de IA econometristas.

Criando operações SQL com IA Generativa no R com querychat

No universo da análise de dados, a velocidade para obter respostas é um diferencial competitivo. Frequentemente, uma simples pergunta de negócio — “Qual foi nosso produto mais vendido no último trimestre na região Nordeste?” — inicia um processo que envolve abrir o RStudio, escrever código dplyr ou SQL, executar e, finalmente, obter a resposta. E se pudéssemos simplesmente perguntar isso aos nossos dados em português, diretamente no nosso dashboard Shiny?

Boletim AM

Receba diretamente em seu e-mail gratuitamente nossas promoções especiais e conteúdos exclusivos sobre Análise de Dados!

Boletim AM

Receba diretamente em seu e-mail gratuitamente nossas promoções especiais e conteúdos exclusivos sobre Análise de Dados!