Estimando a volatilidade da taxa de câmbio

O que é Volatilidade? Como podemos calcular essa métrica? Este artigo apresenta uma breve introdução à volatilidade, descreve como podemos calcular a volatilidade utilizando Modelos de Volatilidade Condicional e demonstra a aplicação prática dessa abordagem para estimar a volatilidade da taxa de câmbio BRL/USD por meio da linguagem de programação Python.

Estimando a Volatilidade do Câmbio no Python

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo e a volatilidade de ativos é talvez a medida de risco mais utilizada. Ainda que a volatilidade seja bem definida, ela não é diretamente observada na prática. Nós observamos os preços dos ativos e seus derivativos. A volatilidade deve ser, então, estimada com base nesses preços observados. Ainda que a volatilidade não seja diretamente observada, ela apresenta algumas características comuns associadas aos retornos dos ativos. Listamos abaixo algumas delas:

- A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura chama de volatility clusters;

- A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que saltos não são comuns;

- A volatilidade costuma variar em um intervalo fixo;

- A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.

Essas características implicam que, de modo geral, a volatilidade é uma série estacionária. Ademais, essas características determinam a forma como os modelos serão construídos.

De fato, alguns modelos de volatilidade são formatados justamente para corrigir a inabilidade dos atualmente existentes em capturar algumas das características mencionadas acima.

Na prática, estima-se a volatilidade de um ativo com base nos seus preços ou derivativos. Tipicamente, três tipos de volatilidade são consideradas:

- Volatilidade como o desvio padrão condicional dos retornos diários;

- Volatilidade implícita, obtida a partir de fórmulas de precificação (como Black-Scholes), com base nos preços do mercado de opções, é possível deduzir a volatilidade do preço da ação. Um exemplo desse tipo de procedimento é o VIX Index;

- Volatilidade realizada, obtida com base em dados financeiros de alta frequência, como, por exemplo, retornos intraday de 5 minutos.

Modelagem

Com efeito, para estimar a volatilidade da taxa de câmbio BRL/USD, primeiro, precisamos pegar a série via Sistema de Séries Temporais do Banco Central.

Feito isso, podemos calcular o log retorno da série, estimar um modelo GARCH(1,1) para os mesmos, extraindo assim a série de volatilidade.

Para a volatilidade do Câmbio, usamos um modelo GARCH(1,1).

Definição do Modelo

Um modelo GARCH(1,1) (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) é uma forma de modelar a volatilidade condicional em séries temporais financeiras. Para entendermos o modelo, devemos compreender o modelo ARCH e os seus termos.

Os modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) são usados para modelar a heterocedasticidade condicional em séries temporais financeiras, ou seja, a variabilidade condicional da volatilidade ao longo do tempo. Os termos principais em um modelo ARCH incluem:

1. Erro Condicional \epsilon_t: O erro condicional representa a diferença entre o valor observado da série temporal no período t e o valor previsto pelo modelo. Em um modelo ARCH, a variância desse erro não é constante ao longo do tempo, e é isso que o modelo tenta capturar.

2. Variância Condicional \sigma_t^2: A variância condicional é a variabilidade da série temporal em um determinado período de tempo, condicionada às informações anteriores. Ela não é constante, como é o caso de séries temporais com heterocedasticidade condicional. A variância condicional no período t é denotada por \sigma_t^2.

    \[y_t = \mu + \epsilon_t\]

    \[\epsilon_t = y_t - \mu\]

    \[\sigma^2 = E[(y_t - \mu)^2]\]

Um modelo ARCH(1) é representado por:

    \[\epsilon_t = \sigma_t \cdot z_t\]

    \[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot \epsilon_{t-1}^2\]

Já equação geral para um modelo GARCH(1,1) pode ser representada da seguinte forma:

    \[\epsilon_t = \sigma_t \cdot z_t\]

    \[\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \cdot \sigma_{t-1}^2\]

Onde:
- y_t é o valor observado na data t.
- \mu é a média condicional da série temporal.
- \epsilon_t é o erro condicional na data t, assumindo que \epsilon_t é um ruído branco com média zero (E[\epsilon_t] = 0).
- \sigma_t é a volatilidade condicional não constante na data t.
- z_t é uma variável aleatória independente e identicamente distribuída com média zero e variância um (z_t \sim N(0, 1)).
- \alpha_0, \alpha_1, e \beta_1 são parâmetros do modelo GARCH(1,1) que precisam ser estimados.

As suposições e restrições típicas associadas a um modelo GARCH(1,1) incluem:

1. Séries Temporais Estacionárias: O modelo assume que a série temporal é estacionária, o que significa que a média e a variância condicionais são constantes ao longo do tempo. Se a série não for estacionária, pode ser necessário aplicar diferenciação ou transformações para torná-la estacionária.

2. Erros Condicionais Independentes e Identicamente Distribuídos: Os erros \epsilon_t são assumidos como ruído branco, o que significa que são independentes entre si e têm a mesma distribuição, com média zero e variância constante.

3. Condições de Positividade: Os parâmetros \alpha_0, \alpha_1, e \beta_1 devem satisfazer condições de positividade para garantir que a volatilidade condicional seja não negativa.

4. Condição de Estacionariedade: Para que o modelo seja estável, é necessário que \alpha_1 + \beta_1 < 1. Isso garante que a série temporal seja estacionária no sentido fraco.

Para a montagem do Modelo, seguimos o seguinte processo:

1. Especificar uma equação de média, testando a dependência serial nos dados e, se necessário, construindo um modelo econométrico (por exemplo, um modelo ARMA) para a série de retornos, a fim de eliminar qualquer dependência linear.

2. Utilizar os resíduos da equação de média para testar os efeitos ARCH e verificar a distribuição de dados que melhor representa o modelo.

3. Especificar um modelo de volatilidade se os efeitos ARCH forem estatisticamente significativos e realizar uma estimação conjunta das equações de média e volatilidade.

4. Verificar o modelo ajustado cuidadosamente e refiná-lo, se necessário.

Vamos aplicar o GARCH(1,1) para série de primeira diferença logaritimizada do Câmbio R/US.

Dados do Câmbio

Primeiramente, é essencial realizar uma análise dos dados de câmbio. Por meio do gráfico abaixo, podemos observar as variações nos preços dessa variável, destacando a significativa elevação ocorrida em 2020.

A série no nível apresenta características de um passeio aleatório. Portanto, é necessário realizar uma transformação na série. Optamos por calcular o retorno logaritmo, cujo resultado é apresentado abaixo. Conforme mencionado, é possível notar a presença de clusters de volatilidade na série, sugerindo a existência de heterocedasticidade e variação condicional.

Com base nessa análise, procedemos à estimação da série utilizando um modelo GARCH(1,1). O gráfico a seguir exibe o resultado da variância condicional calculada, expressa em termos anualizados.

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Referências

R. L. S. Bueno. Econometria de Séries Temporais. Editora Cengage Learning, 2011.

R. S. Tsay. An Introduction to Analysis of Financial Data with R. Editora Wiley, 2013.

 

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