O que é e como estimar o Beta de uma ação usando o Python

O beta, também conhecido como coeficiente beta (β), é uma medida que quantifica a sensibilidade de um ativo financeiro em relação às variações do mercado como um todo. Em outras palavras, o beta indica o grau de volatilidade de um ativo em relação ao movimento de um índice de referência.

Neste artigo, vamos explorar em detalhes o funcionamento do coeficiente beta e demonstrar como obtê-lo utilizando um conjunto de dados do mercado acionário brasileiro. Utilizaremos a linguagem de programação Python como ferramenta para construção e análise.

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Modelo de Índice Único

Empiricamente foi observado no mercado acionário que, quando o mercado sobe (mensurado por um índice de bolsa de valores), a maioria das ações tende a aumentar o preço e, quando o mercado cai, a maioria das ações vê seu preço diminuir. Isso sugere o motivo da correlação entre as ações, que deriva do fato que há uma resposta comum a mudanças de mercado.

O retorno de uma ação pode ser escrito como:

    \[R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + e_i\]

- R_i: Retorno do ativo

- \alpha_i: Representa o valor esperado do retorno não oriundo do mercado

- R_m: Retorno do índice de mercado

- \beta_i: Mede a mudança esperada em R_i dada uma mudança em R_m

- e_i: É o componente aleatório que afeta os retornos.

CAPM

O Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) estabelece uma relação sistemática de precificação de ações, a partir da concepção da arbitragem de risco entre o retorno esperado de um ativo financeiro e seu risco sistêmico, medido pelo famoso coeficiente beta (β). A formulação do CAPM foi independente da resolução do modelo de índice única, apesar da semelhança. O CAPM é formulado pela seguinte equação:

    \[E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)\]

- E(R_i): Retorno esperado do ativo.
- R_f: Taxa livre de risco (geralmente baseada em títulos do governo).
- \beta_i: Coeficiente beta do ativo, que mede seu risco sistemático em relação ao mercado.
- E(R_m): Retorno esperado do mercado.
- E(R_m) - R_f: Prêmio de risco de mercado.

Beta

- Um ativo com \beta = 1 é considerado tão volátil quanto o mercado. Isso significa que, em média, ele se move na mesma direção e na mesma proporção que o mercado.

- Um ativo com \beta > 1 é considerado mais volátil que o mercado. Isso significa que, em média, ele tende a ter movimentos maiores do que o mercado.

- Um ativo com \beta < 1 é considerado menos volátil que o mercado. Isso significa que, em média, ele tende a ter movimentos menores do que o mercado.

- Um ativo com \beta = 0 é considerado não relacionado ao mercado. Isso significa que seus retornos são independentes dos movimentos do mercado.

Podemos estimar o Beta a partir da seguinte fórmula:

    \[\beta = \frac{{\text{Covariância}(R_i, R_m)}}{{\text{Variância}(R_m)}}\]

Assim, podemos obter a estimativa pela forma manual, calculando a covariância e a variância, ou usando funções para o cálculo do MQO.

Estimando o Beta no Python

Para obter a estimativa do Beta necessitamos de retornos dos ativos, do retorno de mercado e um taxa representa a taxa livre de risco. Aqui usaremos quatro ações para definir um portfólio teórico com pesos iguais ('BBDC4.SA', 'ITSA4.SA', 'VALE3.SA', 'WEGE3.SA'). Usaremos o retorno do Ibovespa como retorno de mercado e o CDI como taxa livre de risco. Os dados compreendem o período de jan/2014 até dez/2023 em periodicidade mensal.

Os valores iniciais do conjunto dados utilizados para o modelo estão dispostos na tabela abaixo:

Código
portfolio_ewp retornos_ibov cdi excesso_retorno excesso_ibovespa
Date
2014-02-01 0.042203 -0.011440 0.0078 0.034403 -0.019240
2014-03-01 0.060588 0.070519 0.0076 0.052988 0.062919
2014-04-01 0.043038 0.024021 0.0082 0.034838 0.015821
2014-05-01 -0.035348 -0.007496 0.0086 -0.043948 -0.016096
2014-06-01 0.039746 0.037647 0.0082 0.031546 0.029447

Regressão Linear

Por meio de uma regressão linear simples via MQO chegamos ao resultado de um alpha no valor de 0.0069 e um Beta de 0.9124.

Código
====================================================================================
                       coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------------
Intercept            0.0069      0.003      2.596      0.011       0.002       0.012
excesso_ibovespa     0.9124      0.040     22.867      0.000       0.833       0.991
====================================================================================

Gráfico de Dispersão

O gráfico de dispersão permite estabelecer a relação entre os excessos de retornos.

Beta Móvel

O Beta Móvel é criado a partir da estimação do MQO em janelas deslizantes em períodos de 60 meses. Isso significa que podemos construir o beta a cada periodo de tempo, buscando compreender a dinâmica da relação entre o portfólio e o risco sistêmico.

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