O beta, também conhecido como coeficiente beta (β), é uma medida que quantifica a sensibilidade de um ativo financeiro em relação às variações do mercado como um todo. Em outras palavras, o beta indica o grau de volatilidade de um ativo em relação ao movimento de um índice de referência.
Neste artigo, vamos explorar em detalhes o funcionamento do coeficiente beta e demonstrar como obtê-lo utilizando um conjunto de dados do mercado acionário brasileiro. Utilizaremos a linguagem de programação Python como ferramenta para construção e análise.
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Modelo de Índice Único
Empiricamente foi observado no mercado acionário que, quando o mercado sobe (mensurado por um índice de bolsa de valores), a maioria das ações tende a aumentar o preço e, quando o mercado cai, a maioria das ações vê seu preço diminuir. Isso sugere o motivo da correlação entre as ações, que deriva do fato que há uma resposta comum a mudanças de mercado.
O retorno de uma ação pode ser escrito como:
![\[R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + e_i\]](https://analisemacro.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b704bf97f7667f6a63678c93adaec51b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 
: Retorno do ativo
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: Representa o valor esperado do retorno não oriundo do mercado
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: Retorno do índice de mercado
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: Mede a mudança esperada em dada uma mudança em
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: É o componente aleatório que afeta os retornos.
CAPM
O Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) estabelece uma relação sistemática de precificação de ações, a partir da concepção da arbitragem de risco entre o retorno esperado de um ativo financeiro e seu risco sistêmico, medido pelo famoso coeficiente beta (β). A formulação do CAPM foi independente da resolução do modelo de índice única, apesar da semelhança. O CAPM é formulado pela seguinte equação:
![\[E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)\]](https://analisemacro.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b87684cc5f67b09f29b013036df4a209_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 
: Retorno esperado do ativo.
- 
: Taxa livre de risco (geralmente baseada em títulos do governo).
- : Coeficiente beta do ativo, que mede seu risco sistemático em relação ao mercado.
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: Retorno esperado do mercado.
- 
: Prêmio de risco de mercado.
Beta
- Um ativo com 
é considerado tão volátil quanto o mercado. Isso significa que, em média, ele se move na mesma direção e na mesma proporção que o mercado.
- Um ativo com 
é considerado mais volátil que o mercado. Isso significa que, em média, ele tende a ter movimentos maiores do que o mercado.
- Um ativo com 
é considerado menos volátil que o mercado. Isso significa que, em média, ele tende a ter movimentos menores do que o mercado.
- Um ativo com 
é considerado não relacionado ao mercado. Isso significa que seus retornos são independentes dos movimentos do mercado.
Podemos estimar o Beta a partir da seguinte fórmula:
![\[\beta = \frac{{\text{Covariância}(R_i, R_m)}}{{\text{Variância}(R_m)}}\]](https://analisemacro.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e062d9ce74957ebf17d381401805d1c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Assim, podemos obter a estimativa pela forma manual, calculando a covariância e a variância, ou usando funções para o cálculo do MQO.
Estimando o Beta no Python
Para obter a estimativa do Beta necessitamos de retornos dos ativos, do retorno de mercado e um taxa representa a taxa livre de risco. Aqui usaremos quatro ações para definir um portfólio teórico com pesos iguais ('BBDC4.SA', 'ITSA4.SA', 'VALE3.SA', 'WEGE3.SA'). Usaremos o retorno do Ibovespa como retorno de mercado e o CDI como taxa livre de risco. Os dados compreendem o período de jan/2014 até dez/2023 em periodicidade mensal.
Os valores iniciais do conjunto dados utilizados para o modelo estão dispostos na tabela abaixo:
Código
| portfolio_ewp | retornos_ibov | cdi | excesso_retorno | excesso_ibovespa | |
|---|---|---|---|---|---|
| Date | |||||
| 2014-02-01 | 0.042203 | -0.011440 | 0.0078 | 0.034403 | -0.019240 |
| 2014-03-01 | 0.060588 | 0.070519 | 0.0076 | 0.052988 | 0.062919 |
| 2014-04-01 | 0.043038 | 0.024021 | 0.0082 | 0.034838 | 0.015821 |
| 2014-05-01 | -0.035348 | -0.007496 | 0.0086 | -0.043948 | -0.016096 |
| 2014-06-01 | 0.039746 | 0.037647 | 0.0082 | 0.031546 | 0.029447 |
Regressão Linear
Por meio de uma regressão linear simples via MQO chegamos ao resultado de um alpha no valor de 0.0069 e um Beta de 0.9124.
Código
====================================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------------
Intercept 0.0069 0.003 2.596 0.011 0.002 0.012
excesso_ibovespa 0.9124 0.040 22.867 0.000 0.833 0.991
====================================================================================Gráfico de Dispersão
O gráfico de dispersão permite estabelecer a relação entre os excessos de retornos.
Beta Móvel
O Beta Móvel é criado a partir da estimação do MQO em janelas deslizantes em períodos de 60 meses. Isso significa que podemos construir o beta a cada periodo de tempo, buscando compreender a dinâmica da relação entre o portfólio e o risco sistêmico.
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