Regressões Quantílicas

No nosso Curso de Microeconometria usando o R, nosso objetivo é capacitar alunos de graduação e pós-graduação, professores e profissionais de mercado em econometria aplicada a microdados. O curso envolve tanto a apresentação teórica de modelos de regressão, quanto a aplicação no R de diversos exemplos associados a dados de corte transversal, séries de tempo e dados em painel. Espera-se que ao final do Curso o aluno tenha facilidade em desenvolver trabalhos empíricos empregando microdados.

Para ilustrar, vamos considerar hoje uma das aulas do Curso, envolvendo Regressões Quantílicas.

Regressões que utilizam o método de mínimos quadrados modelam a média condicional de uma variável de interesse. Isto é, $E(Y|X)$ , o valor esperado de $y$ dado um vetor $x$ . Às vezes, entretanto, podemos estar interessados em outras características da distribuição condicional, como por exemplo a mediana ou, de forma mais geral, os quantis.

O modelo de regressão quantílica pela função quantílica condicional

(1) $\begin{align*} Q_y (\tau|x) = x_{i}^{T} \beta ; \end{align*}$

i.e., $Q_y (\tau|x)$ denota o quantil $\tau$ de $y$ condicionado a $x$ . As estimativas são então obtidas minimizando $\sum_{i} \varrho_{\tau} (y_i - x_{i}^{T} \beta)$ com respeito a $\beta$ , onde para $\tau \in (0,1)$ , $\varrho_{\tau}$ denota a função linear por partes $\varrho_{\tau} = u {\tau - I (u < 0)}$ , sendo $I$ a função indicativa.

De modo a ilustrar a aplicação da regressão quantílica no R, vamos estimar o seguinte modelo:

(2) $\begin{align*} Q_{log(wage)} (\tau|x) = \beta_1 + \beta_2 experience + \beta_3 experience^2 + \beta_4 education \end{align*}$

Para estimar 2, nós recorremos à função `rq` do pacote `quantreg` e ao dataset **CPS1988**, como abaixo. Por default, `rq` seta $\tau = 0.5$ , isto é, a mediana de $y$ .


library(quantreg)
library(AER)
data('CPS1988')
cps_f <- log(wage) ~ experience + I(experience^2) + education
cps_lad <- rq(cps_f, data = CPS1988)

A seguir, o output da regressão.


	Dependent variable:

	log(wage)

experience	0.077^***
	(0.001)

I(experience2)	-0.001^***
	(0.00003)

education	0.094^***
	(0.001)

Constant	4.241^***
	(0.022)


Observations	28,155

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

A regressão quantílica é particularmente interessante quanto modelamos vários quantis de forma simultânea, como abaixo. Para isso, basta setar o argumento tau da função.


cps_rq <- rq(cps_f, tau = c(0.25, 0.75), data = CPS1988)

Uma questão natural derivada desse tipo de análise é se as linhas ou superfícies de regressão são paralelas; ou seja, se os efeitos dos regressores são uniformes nos quantis. Existe o método `anova()` para explorar esta questão.


cps_rq25 <- rq(cps_f, tau = 0.25, data = CPS1988)
cps_rq75 <- rq(cps_f, tau = 0.75, data = CPS1988)
anova(cps_rq25, cps_rq75, joint = FALSE)

Observamos que o efeito não é uniforme ao longo dos quantis, com as diferenças estando associadas ao coeficiente da **experiência**. Podemos ver essa diferença de modo gráfico com o código a seguir.


cps_rqbig <- rq(cps_f, tau = seq(0.05, 0.95, by = 0.05), data = CPS1988)
cps_rqbigs <- summary(cps_rqbig)
plot(cps_rqbigs)

Com isso, visualizamos a variação dos coeficientes em função de $\tau$ , sendo bastante claro que a influência das covariáveis está longe de ser uniforme. As áreas sombreadas representam intervalos de confiança pontuais de 90% (por padrão) para as estimativas da regressão quantílica. Para comparação, as linhas horizontais sólidas e tracejadas mostradas em cada gráfico representam a estimativa do OLS e um intervalo de confiança de 90% associado.

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