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volatilidade Archives - Análise Macro

Calculando a volatilidade do Bitcoin

By | mercado financeiro

O Bitcoin é uma criptomoeda que possui a característica de ser volátil, de forma que isso significa incorrer do risco de mercado. Apesar deste senso comum, devemos pensar: o quanto é essa volatilidade? Como podemos mensurá-la? Há diversas formas, e neste post de hoje iremos estimar a volatilidade do Bitcoin através do modelo GARCH utilizando o R.

O modelo GARCH é útil para realizar estimativas da volatilidade de um ativo financeiro, visto as suas propriedades. Séries financeiras tendem a possui volatility cluster, ou seja, valores extremos em diferentes períodos de tempo. Outra questão é que os erros de previsão ao quadrado possuem autocorrelação, de forma que ajudam a explicar a variância, bem como a sua própria variância passada.

Já trabalhamos com aplicações do mesmo modelo em post passados:

Bem como ensinamos a criar modelos de volatilidade em nosso curso de Econometria Financeira usando o R.

Com estas considerações, podemos utilizar os retornos da Bitcoin (em USD) diários para a modelagem de sua volatilidade com um GARCH(1,1).

Primeiro, carregamos os pacotes necessários.

Em seguida, buscamos os dados do Bitcoin utilizando o pacote {crypto2}.

Podemos visualizar a série de retornos diárias do Bitcoin, de forma a obter uma análise sobre suas características.

Com efeito, podemos especificar o modelo e estimar os coeficientes.

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Quer saber mais?

Veja nossos cursos da trilha de Finanças Quantitativas.

 

Aplicações de modelos de volatilidade no R

By | mercado financeiro

Modelos de Volatilidade foram criados na década de 1980 com o objetivo de refinar o tratamento do risco e da incerteza em um modelo empírico, algo que os modelos de precificação até então tinham dificuldades em lidar. Modelos do tipo ARCH e GARCH fundamentam-se na variância condicional, levando em consideração os eventos extremos das séries financeiras. No post de hoje, iremos demonstrar as aplicação de modelos do tipo GARCH (1.1) no mundo real.

Antes de começarmos com a aplicação e o código, devemos fazer aqui rapidamente algumas considerações sobre os modelos. Para introduzir melhor sobre o assunto, temos um post aqui na Análise Macro explicando os modelos ARCH e GARCH , bem como possuímos o curso de Econometria Financeira usando o R, que ajuda a entender melhor sobre modelagem de séries financeiras.

Consideramos que a previsão média dos retornos dado a informação disponível no tempo  $t_1$ de uma série é calculada como:

     $$\mu_t = E[R_t | I_{t-1}]$$

Com os erros da previsão sendo

     $$e_t= R_t - \mu_t$$

Com base nas informações no tempo $t-1$, também é possível calcular a variância:

     $$\sigma^2 = E[(R_t - \mu_t)^2 | I_{t-1}]$$

     $$ = E[e^2_t |I_{t_1}]$$

Ao realizar a estimação da previsão média dos retornos, podemos realizá-la tanto através de média móvel dos retornos, calculada a partir de:

     $$\mu_t = \frac{1}{M}\sum_{i = 1}^M R_{t-1}$$

quanto a partir de um processo ARMA.

O que nos permitirá ter os modelos:

ARCH:

     $$\sigma^2_t = \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_ie^2_{t-i}$$

GARCH(1,1)

     $$\sigma^2_t = \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_ie^2_{t-i} + \sum_{i=1}^p\beta\sigma^2_{t-1}$$

Estimar a volatilidade do Ibovespa

Podemos aplicar o modelo GARCH(1,1) no índice bovespa, de forma a comparar os diferentes períodos de volatilidade da série. Antes da modelagem, porém, realizamos uma análise de dados dos retornos do índice bovespa. No código abaixo, importamos os pacotes e a série da Ibovespa, transformando os seus preços de fechamentos ajustados em log retornos.


Com os retornos em mãos, realizamos uma análise para ajudar a entender melhor a questão da heterocedasticidade condicional. O gráfico de Q-Q permite avaliar a distribuição empíricas dos quantiles e relação a distribuição teórica, sendo assim, é útil para saber se a distribuição dos retornos segue como normal. Como é interessante de ver, apesar da forma retilínea da distribuição, há valores discrepantes, que chamamos de eventos extremos, o que causa problemas na nossa série. Significa que há momentos dos quais o valores se tornam eventos extremos, afetando a variância (volatilidade) em determinados períodos.

Um forma interessante de visualizar esses momentos de heterocedasticidade condicional, é visualizando a série do retorno, bem como seu gráfico de autocorrelação, e comparar com os erros ao quadrado (como na equação acima, demonstrando ser a variância da série).


Vemos que há momentos que realmente houveram variações significativas, principalmente em períodos de crises, e que os valores dos erros ao quadrado mostram através do gráfico de autocorrelação, que elas não são independentes no tempo, ou seja, podemos modelar a variância através de seus valores passados.

Abaixo, criamos um gráfico mais sofisticado do desvio padrão anualizado móvel em períodos de 22 dias, de forma a comparar com os erros ao quadrado.

Por fim, é possível melhorar ainda mais a estimação da volatilidade, utilizando o modelo GARCH (1,1) para obter a estimação da variância e da média condicional utilizando o pacote {ugarch}.

O primeiro passo é a especificação o modelo com ugarchspec. Dentre as especificações, escolhemos que o valor previsto do retorno será estimado pela média amostral (armaOrder = c(0,0), lembrando que é possível utilizar modelos ARMA nesse caso). O modelo da variância será o "standard GARCH", e a distribuição será normal.

O segundo passo é calcular as estimativas com base na função ugarchfit, utilizando a especificação que criamos.

O terceiro passo, opcional, é realizar a previsão nos períodos futuros com a função ugarchforecast.



Aplicação da volatilidade: Teorema da separação de Tobin

Podemos utilizar como exemplo o teorema da separação de Tobin (1958), que a grosso modo, estabelece a carteira eficiente de ativos arriscados, e também determina a fração (peso) ótima para investir na carteira de ativos arriscado e no ativo livre de risco.

Se um portfolio investe a porcentagem $w$ em um ativo de risco (com volatilidade   $\sigma_t$ ) e mantêm  $1 - w$  no ativo livre de risco, obtemos uma volatilidade igual a:

     $$\sigma_p = w\sigma_t$$

Como definimos  $w$ ? É possível através do volatility targeting. O valor de  $w$ será aquele que o valor previsto da volatilidade anualizada será igual ao valor do target, sendo então 5%, por exemplo:

     $$w* = 0,05/\sigma_t$$



O gráfico demonstra a relação do portfolio e da variância, vemos que quanto maior o nível de volatilidade em certo períodos, menor será a fração no portfolio de ativos de risco.

Referências

James Tobin. Liquidity preference as behavior towards risk. Review of Economic Studies, XXV(2):65–86, February 1958.

Estimando a volatilidade do câmbio

By | Clube AM

A taxa de câmbio BRL/USD tem sofrido forte deterioração ao longo dos últimos anos. Em grande medida, isso reflete uma piora no cenário doméstico. De forma a verificar se os níveis de volatilidade verificados nesses anos são, de fato, maiores do que aqueles observados na média histórica, vamos estimar um modelo GARCH, como é visto no nosso Curso de Econometria Financeira usando o R. A partir desse modelo, podemos obter a volatilidade da taxa de câmbio.

Uma importante medida em finanças é o risco associado a um ativo e a volatilidade de ativos é talvez a medida de risco mais utilizada. Ainda que a volatilidade seja bem definida, ela não é diretamente observada na prática. Nós observamos os preços dos ativos e seus derivativos. A volatilidade deve ser, então, estimada com base nesses preços observados. Ainda que a volatilidade não seja diretamente observada, ela apresenta algumas características comuns associadas aos retornos dos ativos. Listamos abaixo algumas delas:

  • A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura chama de volatility clusters;
  • A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que saltos não são comuns;
  • A volatilidade costuma variar em um intervalo fixo;
  • A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.

Essas características implicam que, de modo geral, a volatilidade é uma série estacionária. Ademais, essas características determinam a forma como os modelos serão construídos. De fato, alguns modelos de volatilidade são formatados justamente para corrigir a inabilidade dos atualmente existentes em capturar algumas das características mencionadas acima. Na prática, estima-se a volatilidade de um ativo com base nos seus preços ou derivativos. Tipicamente, três tipos de volatilidade são consideradas:

  • Volatilidade como o desvio-padrão condicional dos retornos diários;
  • Volatilidade implícita, obtida a partir de fórmulas de precificação (como Black-Scholes), com base nos preços do mercado de opções, é possível deduzir a volatilidade do preço da ação. Um exemplo desse tipo de procedimento é o VIX Index;
  • Volatilidade realizada, obtida com base em dados financeiros de alta frequência, como, por exemplo, retornos intraday de 5 minutos.

# Modelagem

Com efeito, para estimar a volatilidade da taxa de câmbio BRL/USD, primeiro, precisamos pegar a série via pacote rbcb no Sistema de Séries Temporais do Banco Central. Feito isso, podemos calcular o log retorno da série, estimar um modelo GARCH(1,1) para os mesmos, extraindo assim a série de volatilidade. O gráfico abaixo ilustra o comportamento da volatilidade ao longo do tempo. A série de câmbio é diária, para o intervalo de 1 de janeiro de 2014 a 5 de outubro de 2018.

A seguir, verificamos o log retorno do câmbio.

E, por fim, obtemos a volatilidade do câmbio.

Para quem deseja se aprofundar nesse tipo de análise de séries temporais financeiras, recomendo o nosso Curso de Econometria Financeira usando o R. Para interessados em econometria de modo geral, veja também nossos Cursos Aplicados de R.

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Membros do Clube AM têm acesso a todos os códigos desse e de vários outros exercícios.

Momento atual atinge novo patamar de preocupação

By | Indicadores

A crise provocada pelo avanço do coronavírus pelo mundo e pela queda de braço dentro da Opep atingiu um novo patamar de preocupação. A sequência inédita de circuit breakers nas bolsas internacionais (que continuam nessa segunda-feira) é um forte indicador do momento crítico que estamos vivendo. Com efeito, vamos dar uma olhada em alguns desses indicadores com o R. A seguir carregamos alguns pacotes.


library(quantmod)
library(BatchGetSymbols)
library(ggplot2)
library(scales)
library(forecast)
library(xts)
library(gridExtra)
library(tidyverse)

Baixamos a seguir o índice Bovespa, a taxa de câmbio e o índice VIX.


getSymbols("BRL=X",src="yahoo")
getSymbols("^BVSP",src="yahoo")
getSymbols('VIXCLS', src='FRED')

Colocamos um gráfico das três séries logo abaixo.

O momento tenso também pode ser visto de um outro ponto de vista. Através da variação do índice bovespa. Colocamos um gráfico abaixo.

Não há precedentes sobre o que está ocorrendo no mundo. Nem mesmo a crise de 2008 gerou uma sequência de quedas tão fortes como o que estamos vendo aqui. Não por outro motivo, o Federal Reserve alterou ontem a meta para a taxa básica de juros, colocando-a entre 0% e 0,25%, além de anunciar um pacote gigantesco de apoio ao sistema financeiro. Abaixo, colocamos um gráfico com o avanço do coronavírus em países selecionados (Brasil, incluído).

Com dados atualizados até 15/03, segundo o CSSE da Johns Hopkins, o total de casos confirmados atinge 167,4 mil. Para além disso, como é possível ver na curva acima, o crescimento do número de casos segue em trajetória exponencial. Não por outro motivo, medidas de lockdown são tão necessárias, de modo a não sobrecarregar os sistemas de saúde. O gráfico a seguir ilustra o formato da curva de crescimento dos casos confirmados, tomando a média diária mundial.

Com todo esse contexto, não surpreende que as perspectivas para o boletim Focus tenham se deteriorado. O gráfico a seguir ilustra.

Ao longo da semana, vou mostrar como é possível usar o R para analisar a montanha de dados que temos à disposição sobre a crise. De casa, em quarentena! 🙂

(*) Isso e muito mais você aprende em nossos Cursos Aplicados de R.

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Juro a 4,25% é sustentável?

By | Copom Watch
O Banco Central anunciou agora há pouco a esperada redução de 25 pontos-base na taxa básica de juros, levando-a para 4,25% a.a. Mas importante do que a decisão, entretanto, foi o comunicado pós-reunião. Nas palavras do Comitê:

 

"O Copom entende que o atual estágio do ciclo econômico recomenda cautela na condução da política monetária. Considerando os efeitos defasados do ciclo de afrouxamento iniciado em julho de 2019, o Comitê vê como adequada a interrupção do processo de flexibilização monetária. O Comitê enfatiza que seus próximos passos continuarão dependendo da evolução da atividade econômica, do balanço de riscos e das projeções e expectativas de inflação, com peso crescente para o ano-calendário de 2021".
Em outros termos, o COPOM encerrou o ciclo de afrouxamento monetário nessa reunião, colocando a taxa básica de juros na mínima histórica. A pergunta imediata é se esse nível de juros é sustentável daqui para frente. A resposta passa pelo juro de equilíbrio da economia brasileira.
O juro de equilíbrio é aquele consistente com inflação estável ao longo do tempo. Nossas estimativas - disponíveis no exercício 71 do Clube do Código - dão conta que as reformas recentes fizeram cair o juro neutro da economia. Hoje ele estaria próximo de 3,5% a.a,  como ilustrado no gráfico acima.
Isso dito, em um próximo ciclo de contração monetária, onde o Banco Central eleva a taxa básica de juros, não se espera que voltemos ao nível anterior de dois dígitos. O esforço contracionista da autoridade monetária deverá ser menor para manter a inflação sob controle.
Para que esse cenário continue, entretanto, é preciso que o país continue enxergando vantagens na agenda de reformas. Principalmente, nas que atacam o problema fiscal e aumentam a taxa de poupança da economia brasileira. Sem contas fiscais saneadas, a manutenção de juros no atual patamar fica bastante comprometida.
(*) Aprenda tudo sobre política monetária com nossa área de Central Banking.
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