Cursos da Análise Macro

Estimando regressões múltiplas com o R

By 27 de agosto de 2018 No Comments

A turma de setembro do nosso Curso de Introdução à Econometria usando o R terá uma grande novidade. A apostila e as listas de exercício foram revisadas e atualizadas com exercícios do livro clássico de Jeffrey Marc Wooldridge. Todos feitos no R, de modo a mostrar para o aluno como a teoria pode ser complementada com a prática. Com isso, trazemos ainda mais aplicações para o curso, o que garante total absorção do conteúdo. Para ilustrar, vamos considerar nesse post o modelo de regressão múltipla. Primeiro, um pouco de teoria e depois um exemplo do Wooldridge feito no R.

Em post anterior nesse blog, vimos o modelo de regressão simples, onde y pode ser explicado por uma única variável x. O problema básico desse tipo de análise é que ela faz uma suposição bastante forte, qual seja, que x não está correlacionado com o erro, dificultando a aplicação da condição ceteris paribus. A análise de regressão múltipla, por outro lado, é mais receptiva a esse tipo de condição, uma vez que ela permite que controlemos outros fatores que afetam y, adicionando os mesmos na equação. Assim, por suposto, se queremos explicar y, podemos utilizar k variáveis, como abaixo:

(1)   \begin{align*} y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 + ... + \beta_k x_k + u,  \end{align*}

onde \beta_0 é o intercepto, \beta_k é o parâmetro associado a x_k. De modo a obter uma estimativa para 1, devemos observar que

(2)   \begin{align*} E(u|x_1, x_2, ..., x_k) = 0. \end{align*}

Isto é, que todos os fatores no termo de erro não observado u sejam não correlacionados com as variáveis explicativas. De modo a obter estimativas para os \beta_k parâmetros, é possível recorrer ao método de mínimos quadrados ordinários. Isto é, dado

(3)   \begin{align*} \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_1 + \hat{\beta_2} x_2 + ... + \hat{\beta_k} x_k, \end{align*}

onde \hat{\beta_k} é a estimativa de \beta_k, o método de MQO escolhe as estimativas \hat{\beta_k} que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:

(4)   \begin{align*} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik})^2. \end{align*}

O problema acima pode ser resolvido por meio de cálculo multivariado, de onde obtemos as condições de primeira ordem

(5)   \begin{align*} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i1} (y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i2}(y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0 \nonumber \\ \sum_{i=1}^{n} x_{ik}(y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1} x_{i1} - ... - \hat{\beta_k} x_{ik}) = 0, \nonumber \end{align*}

ou simplesmente, E(u) = 0 e E(x_j u) = 0.

Interpretação da equação de regressão de MQO

Suponha, agora, que tenhamos

(6)   \begin{align*} \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_1 + \hat{\beta_2} x_2. \end{align*}

O intercepto \beta_0 será então o valor previsto de y quando x_1 = x_2 = 0. Já as estimativas \hat{\beta_1} e \hat{\beta_2} devem ser interpretadas como efeito parcial ou simplesmente ceteris paribus. Isto é,

(7)   \begin{align*} \Delta \hat{y} = \hat{\beta_1} \Delta x_1 + \hat{\beta_2} \Delta x_2, \nonumber \end{align*}

de modo que obtemos a variação prevista em y dadas as variações em x_1 e x_2. Em particular, quando x_2 é mantido fixo, de modo que \Delta x_2 = 0, teremos

(8)   \begin{align*} \Delta \hat{y} = \hat{\beta_1} \Delta x_1. \nonumber \end{align*}

Ou, simplesmente,

(9)   \begin{align*} \frac{\partial \hat{y}}{\partial \hat{x_1}} = \hat{\beta_1}, \nonumber \end{align*}

onde \hat{\beta_1} irá medir o efeito da variação de x_1 em y, mantido x_2 constante.

Exemplo: equação do salário-hora

De modo a ilustrar, vamos considerar o exemplo 3.2 do livro do Wooldridge, em que o mesmo utiliza o conjunto de dados wage1, disponível no pacote wooldridge. Ele pode ser acessado como abaixo.


data(wage1, package='wooldridge')

De posse desse conjunto de dados, você pode estimar o modelo abaixo:


lm(log(wage) ~ educ+exper+tenure, data=wage1)

De modo a obter a seguinte reta de regressão para o log do salário-hora

(10)   \begin{align*} \hat{log(wage)} = 0.284 + 0.092 educ + 0.0041 exper + 0.022 tenure. \end{align*}

De onde se conclui, por exemplo, que o aumento de um ano na educação formal equivale a um aumento de 9.2\% no salário-hora, mantidos exper e tenure fixos.

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