Modelo de Mercado e Regressão Móvel

No post de hoje iremos mostrar como criar o modelo de precificação conhecido como Market Model. O propósito do modelo segue o mesmo caminho que outros modelos de fatores, em que é escolhido uma proxy de risco para explicar a variação do retorno de um ativo. Mostraremos também como criar uma regressão móvel para o modelo.

No caso do Market Model, pode ser considerado um dos modelos mais simples dentro da literatura e do mundo real de finanças, em que é necessário somente os dados de um índice de mercado que queira ser acompanhado, diferente de outros modelos, que se estendem na utilização de proxys para portfolios de mercado ou o efeito do tamanho das empresas sobre o ativo, podendo ou não serem modelos multi-fatores.

O Market Model não pressupõe a preocupação de se utilizar o verdadeiro portfolio de mercado, apenas um índice, portanto não é necessário que seja utilizado a taxa de juros livre de risco para realizar seu cálculo. Sua equação é definida como:

(1)  

em que é o retorno do ativo, é o retorno em excesso, é o coeficiente que mede a sensibilidade do ativo em relação ao índice e é o retorno do índice.

Feito a especificação do nosso modelo, podemos coletar e tratar nossos dados. Iremos coletar os preços de quatro ações para montar um Equally Weighted Portfolio. Como estamos utilizando ações que estão na B3, iremos utilizar o Índice Bovespa como índice de mercado. Iremos utilizar dados mensais (realizando a transformação de diário para mensal) começando a partir de 2013.

library(tidyverse)
library(tidyquant)
library(timetk)
library(stargazer)
library(ggrepel)
library(patchwork)

# Define os ativos que irão ser coletados

tickers <- c("PETR4.SA", "ITUB4.SA", "ABEV3.SA", "JBSS3.SA")

# Define a data de início da coleta

start <- "2012-12-01"

# Realiza a coleta dos preços diários

prices <- getSymbols(tickers,
auto.assign = TRUE,
warnings = FALSE,
from = start,
src = "yahoo") %>%
map(~Cl(get(.))) %>%
reduce(merge) %>%
`colnames<-`(tickers)

# Transfroma os preços diários em mensais

prices_monthly <- to.monthly(prices,
indexAt = "lastof",
OHLC = FALSE)

# Calcula os retornos mensais

asset_returns <- Return.calculate(prices_monthly,
method = "log") %>%
na.omit()

# Calcula o portfolio com pesos iguais

portfolio_returns <- Return.portfolio(asset_returns)

# Coleta os dados do ibovespa

getSymbols("^BVSP",
warnings = FALSE,
from = start,
src = "yahoo")

# Calcula os retornos mensais

bvsp_returns <- Ad(BVSP) %>%
to.monthly(indexAt = "lastof",
OHLC = FALSE) %>%
Return.calculate(method = "log") %>%
na.omit() %>%
`colnames<-`("ibovespa")

# Junta os dados

all_returns <- merge.xts(portfolio_returns, bvsp_returns)

Com os nossos dados em mãos, podemos realizar nossa Regressão via MQO.

# Cálcula a regressão "estática"

market_model <- lm(formula = portfolio.returns ~ ibovespa,
data = all_returns)

# Cria uma tabela com os resultados da regressão

stargazer(market_model, header = FALSE, align = TRUE)

Vemos que tivemos um resultado no qual nosso Beta é menor do 1, significando que nosso portfólio varia menos que o proporcional do mercado.

Por fim, sabemos que esse resultado não pode ser o  mesmo em todos os horizontes de tempo, para tanto, podemos criar uma Regressão Móvel para saber em quais período de tempo nosso Beta está acima ou abaixo que o proporcional do mercado.

# Aplica a função para criar a regressão móvel

coef <- rollapply(all_returns,
width = 24, # Janela
FUN = function(x) # Cria uma função da regressão para utilizar com a função
{
roll_reg = lm(portfolio.returns ~ ibovespa,
data = as.data.frame(x))
return(roll_reg$coef)
},
by.column = FALSE)

# Limpa e transforma o objeto em tibble

coef_tbl <- coef %>%
na.omit() %>%
tk_tbl(preserve_index = TRUE,
rename_index = "date") %>%
rename(alpha = "X.Intercept.", beta = "ibovespa")

&nbsp;

# Cria um gráfico do Alpha móvel

alpha <- ggplot(coef_tbl, aes(x = date, y = alpha))+
geom_line(size = .8, colour = "darkblue")+
theme_minimal()+
labs(title = "Alpha",
x = "",
y = "")+
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", colour = "red")+
geom_label_repel(label = round(tail(coef_tbl$alpha, 1), 4),
nudge_y = 0.002,
nudge_x = -1,
data = tail(coef_tbl, 1),
color = 'black',
fill = 'lightblue')

# Cria um gráfico do Beta móvel

beta <- ggplot(coef_tbl, aes(x = date, y = beta))+
geom_line(size = .8, colour = "darkblue")+
theme_minimal()+
labs(title = "Beta",
x = "",
y = "")+
geom_label_repel(label = round(tail(coef_tbl$beta, 1), 3),
nudge_y = 0.2,
nudge_x = -1,
data = tail(coef_tbl, 1),
color = 'black',
fill = 'lightblue')

&nbsp;

# Junta os gráficos

alpha / beta +
plot_annotation(title = "Regressão Móvel do Modelo de Mercado",
subtitle = "Portfólio x Ibovespa",
caption = "Elaborado por analisemacro.com.br com dados do Yahoo Finance.")

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