Seleção de carteira e Teoria de Markowitz

A seleção de carteira responde a uma pergunta diferente da que a maioria dos investidores faz. Em vez de "qual ação comprar", ela pergunta quanto colocar em cada uma. A resposta veio de Harry Markowitz em 1952 e rendeu o Prêmio Nobel de Economia de 1990.

Com cinco ações da B3 e dados de 2015 a 2025, calculamos aqui a carteira de menor risco possível. O resultado é o gráfico abaixo: a curva reúne as melhores combinações disponíveis, e nenhuma das 20 mil carteiras simuladas consegue ultrapassá-la.

Repare na posição das cinco ações individuais: todas ficam à direita da curva, na região de risco mais alto. Qualquer uma delas, sozinha, é uma escolha pior do que alguma combinação das cinco. O tutorial a seguir mostra como se chega a esse resultado.

O problema que Markowitz resolveu

Até os anos 1950, a análise de investimentos era feita ativo por ativo. O investidor estudava uma empresa, estimava quanto ela valia e comprava se estivesse barata. O livro de referência era The Theory of Investment Value, de John Burr Williams, publicado em 1938, que estabeleceu uma ideia correta até hoje: o valor de uma ação é o valor presente dos dividendos futuros.

Essa ideia, levada a sério, produz uma conclusão estranha. Se cada ação tem um valor presente e uma delas tem o maior de todos, o investidor racional deveria aplicar todo o dinheiro nessa única ação. Só que nenhum investidor faz isso. Todos diversificam.

Harry Markowitz era doutorando em economia na Universidade de Chicago quando notou a contradição. Se os investidores diversificam, é porque avaliam o risco além do retorno esperado. Ele então identificou a peça que faltava: o risco de uma carteira não é a média dos riscos dos ativos, porque depende de como esses ativos se movem em conjunto.

O artigo Portfolio Selection saiu no Journal of Finance em 1952, com catorze páginas. Na defesa de doutorado, Milton Friedman argumentou que aquilo não era economia, nem matemática, nem administração, e que portanto não caberia o título. Markowitz foi aprovado assim mesmo e recebeu o Nobel em 1990, ao lado de William Sharpe e Merton Miller.

Por que a análise usa retornos, e não preços

A primeira decisão do método é trabalhar com retornos, isto é, com a variação percentual do preço entre dois períodos. Existem duas razões para isso.

A primeira é de comparabilidade. O preço de uma ação não informa nada sobre a qualidade do investimento, porque depende apenas de em quantas partes a empresa dividiu seu capital. Em janeiro de 2015, a WEGE3 custava R$ 4,90 e a ABEV3, R$ 11,30. Dez anos depois, quem aplicou na WEGE3 multiplicou o capital por 9,8, e quem aplicou na ABEV3 multiplicou por 1,2. A ação mais barata foi a que mais rendeu, e só o retorno permite enxergar isso.

A segunda razão é estatística. Markowitz calcula a média e o desvio-padrão dos retornos e trata essas medidas como características do ativo, o que exige que elas sejam estáveis ao longo do tempo. Séries de preço não têm essa propriedade: a média do preço da VALE3 foi de R$ 17,82 na primeira metade da amostra e de R$ 52,80 na segunda. Já a correlação entre o retorno de um mês e o do mês seguinte é de 0,008, praticamente nula, o que significa que cada mês traz informação nova.

As três medidas que descrevem uma carteira

A teoria resume o problema a três estatísticas. Duas descrevem cada ativo isoladamente e a terceira descreve a relação entre pares de ativos.

O desvio-padrão é a medida que distingue dois investimentos de mesma média. Uma ação que sobe 1% todos os meses e outra que alterna altas de 25% com quedas de 23% podem ter a mesma média, e ninguém as consideraria equivalentes. Como o modelo se apoia em média e variância, ele é conhecido pelo nome técnico de mean-variance.

A VALE3 rendeu 2,18% num mês típico, com desvio-padrão de 10,77%. O desvio é quase cinco vezes maior que a média, o que significa que um mês comum pode terminar em −8% ou +13%. Em ações, a incerteza supera com folga o retorno esperado, e ignorá-la leva a decisões ruins.

Com essas duas medidas, cada ativo passa a ocupar uma posição num plano: o risco no eixo horizontal e o retorno no vertical.

A comparação entre WEGE3 e VALE3 ilustra o tipo de leitura que o método permite: as duas renderam praticamente o mesmo no período, mas a VALE3 exigiu bem mais risco para entregar esse retorno. Os números completos estão na tabela abaixo.

Retorno esperado e risco mensais, calculados sobre 131 meses. Fonte: Yahoo Finance (B3).

A correlação é o que faz a diversificação funcionar

O retorno de uma carteira é a média ponderada dos retornos dos ativos, como a intuição sugere. O risco não segue essa lógica, e é justamente aí que está a contribuição de Markowitz.

A variância de uma carteira tem duas partes. A primeira soma o risco individual de cada ativo. A segunda soma as covariâncias, isto é, o quanto os ativos se movem juntos. Quando as correlações são baixas, essa segunda parte fica pequena, e o risco do conjunto cai abaixo da média dos riscos individuais.

A contagem dos termos revela o alcance desse efeito. Numa carteira com N ativos, a primeira parte tem N parcelas e a segunda tem N² − N. Numa carteira com 50 ações, são 50 variâncias contra 2.450 covariâncias. O risco de uma carteira grande é determinado sobretudo pela forma como as ações se relacionam, e não pelo risco individual de cada uma.

Os extremos da matriz têm explicação econômica. ABEV3 e ITUB4 apresentam a maior correlação, 0,43, e são duas empresas grandes ligadas ao consumo doméstico, sensíveis ao mesmo ciclo. VALE3 e WEGE3 ficam em 0,04, porque uma depende do minério de ferro e da demanda chinesa, enquanto a outra vende equipamentos industriais no mundo todo.

Num gráfico de dispersão, em que cada ponto representa um mês, a diferença entre os dois casos fica visível.

A nuvem redonda da esquerda é a boa notícia para quem investe: quando a VALE3 cai, a SUZB3 não necessariamente acompanha, e é esse descompasso que amortece a carteira.

O efeito prático aparece ao montar duas carteiras meio a meio. Com VALE3 e SUZB3, que quase não se acompanham, o risco cai 2,69 pontos percentuais frente à média das duas. Com ABEV3 e ITUB4, o mesmo gesto reduz apenas 1,13 ponto. É a correlação, e não a qualidade individual das ações, que determina o tamanho do ganho.

A curva mostra os limites do mecanismo. Com correlação +1, combinar os dois ativos não traz ganho nenhum, porque eles se comportam como um só. Com correlação zero, o risco cai 29%, mesmo sem nenhum dos dois ter ficado menos volátil. No extremo de −1 as oscilações se cancelam por completo, situação que não ocorre entre ações reais mas delimita o alcance da diversificação.

Como a carteira ótima é calculada

Com as três medidas em mãos, o método percorre quatro etapas.

Antes de otimizar, ajuda visualizar o espaço de escolhas. Sorteando 20 mil combinações de pesos entre as cinco ações, cada uma produz um par de risco e retorno.

As cinco ações isoladas aparecem na borda direita, na faixa de risco mais alto. Quase qualquer mistura entre elas produz uma carteira menos arriscada do que qualquer ação sozinha, e a otimização consiste em achar a melhor dessas misturas.

A quarta etapa dispensa biblioteca de otimização. A carteira de menor risco possível, chamada de carteira de mínima variância, tem solução analítica: basta inverter a matriz de covariância e normalizar o resultado para que os pesos somem 1. É uma linha de álgebra linear.

O otimizador numérico se torna necessário apenas quando se acrescenta a restrição de não permitir venda a descoberto, ou seja, de proibir pesos negativos. Nesse caso a fórmula fechada deixa de valer. Nos dados deste exercício, os pesos analíticos já saíram todos positivos, de modo que as duas abordagens chegam ao mesmo resultado, com diferença na oitava casa decimal.

O resultado com as cinco ações

A carteira de mínima variância concentra 40,10% em ABEV3 e 22,07% em SUZB3, deixando ITUB4 com a menor fatia.

Chama atenção que a ABEV3 tenha recebido o maior peso, já que ela teve o pior retorno da amostra. A explicação está na natureza do problema: a carteira de mínima variância não utiliza o retorno esperado em nenhum momento do cálculo, apenas a matriz de covariância.

A tabela abaixo mostra os dois caminhos pelos quais um ativo ganha espaço nessa carteira. A ABEV3 entra pelo primeiro, o risco baixo. A SUZB3 entra pelo segundo: é a segunda mais volátil da lista e mesmo assim recebe o segundo maior peso, porque quase não acompanha as demais.

Um ativo ganha peso por ter risco baixo ou correlação baixa com os demais. Fonte: Yahoo Finance (B3).

A ITUB4 ilustra o caso oposto. Tem risco intermediário, mas a correlação média mais alta do grupo, o que significa que boa parte do seu comportamento já é reproduzido pelos outros ativos da carteira.

O que o resultado revela

A curva acima mostra o alcance e o limite da diversificação. O risco médio cai de 30,3% com uma única ação para 17,7% com as cinco, mas o ganho de cada ativo adicional diminui. A curva nunca chega a zero, porque sobra o risco de mercado, que atinge todas as ações e não se elimina distribuindo o dinheiro entre elas.

Os limites do modelo

Markowitz resolveu o problema supondo os parâmetros conhecidos. Na prática eles são estimados a partir de dados históricos, e é daí que vêm as dificuldades.

A mais séria é a instabilidade dos pesos. Calculando a mesma carteira em cada metade da amostra, a participação da WEGE3 sai de 23,2% no período 2015-2020 para 9,2% em 2021-2025. Mesmo método, mesmos ativos, recomendações bastante diferentes. A causa está na fórmula, que depende da inversa da matriz de covariância: inverter uma matriz estimada amplifica o erro de estimação.

O retorno esperado é o parâmetro mais frágil, porque estimá-lo pela média histórica supõe que o passado se repita. A carteira de mínima variância não utiliza esse parâmetro, o que ajuda a explicar por que ela costuma apresentar melhor desempenho fora da amostra do que carteiras que dependem dele.

Há ainda uma limitação conceitual na medida de risco. A variância trata altas e quedas da mesma forma, de modo que uma valorização de 10% contribui tanto quanto uma perda de 10%, o que não corresponde à maneira como investidores percebem risco.

Nenhuma dessas ressalvas invalida o método. As abordagens desenvolvidas depois, como o modelo de Black-Litterman, o encolhimento da matriz de covariância, os modelos de fatores e a paridade de risco, tratam justamente do problema de estimação e partem todas do arcabouço construído em 1952.

As ferramentas por trás

Considerações finais

Com dados públicos e algumas dezenas de linhas de Python, você reproduziu uma análise que, até pouco tempo atrás, exigia software proprietário caro. A fronteira eficiente das cinco ações foi construída a partir de preços de fechamento disponíveis a qualquer pessoa, no seu próprio computador.

O Python reúne num só ambiente a coleta dos dados de mercado, o tratamento das séries, a álgebra da otimização e a visualização do resultado. Trocar os cinco ativos por outros, ampliar a carteira para trinta ações ou mudar o período de análise custa alterar uma linha do código.

O caminho percorrido aqui, de coletar, tratar, estimar e otimizar, se repete em quase todo problema de finanças quantitativas. O que muda é a aplicação:

Referências

MARKOWITZ, H. Portfolio Selection. The Journal of Finance, v. 7, n. 1, p. 77-91, 1952.
MARKOWITZ, H. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New Haven: Yale University Press, 1959.
ELTON, E. J.; GRUBER, M. J.; BROWN, S. J.; GOETZMANN, W. N. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Hoboken: Wiley.
ANG, A. Asset Management: A Systematic Approach to Factor Investing. Oxford: Oxford University Press, 2014.
PALEOLOGO, G. A. Advanced Portfolio Management: A Quant's Guide for Fundamental Investors. Hoboken: Wiley, 2021.
ASSAF NETO, A. Mercado Financeiro. São Paulo: Atlas, 2012.
WILLIAMS, J. B. The Theory of Investment Value. Cambridge: Harvard University Press, 1938.

Leia também

• Como avaliar a relação de risco-retorno de ações no Python
• Como analisar a contribuição para a Volatilidade de uma carteira de ações usando Python