Duas séries temporais cointegram quando cada uma vaga sem rumo, mas a distância entre elas permanece estável. É essa propriedade que sustenta estratégias de pairs trading, arbitragem estatística e boa parte da modelagem de séries macroeconômicas.
O conceito tem fama de intimidador, e a formalização é mesmo sofisticada. Mas a intuição cabe numa analogia de três páginas escrita por Michael P. Murray em 1994: o andar de um bêbado e seu cachorro.
É essa figura que este tutorial reconstrói em termos estatísticos e depois aplica a um par de ações da B3.
Código do exercício
O código com o teste de cointegração aplicado a um par de ativos, do gráfico ao resíduo da relação de longo prazo está disponível em:
A analogia do bêbado e seu cachorro
Imagine que você avista um bêbado saindo do bar, vagando em direção a casa. Ele caminha de forma imprevisível, desviando ora para a esquerda, ora para a direita. Em econometria, chamamos essa trajetória de passeio aleatório, e ela descreve o comportamento de muitas séries econômicas.
Uma característica do passeio aleatório é que a melhor previsão para o valor futuro é o último valor observado. Se você desviar o olhar, seu melhor palpite sobre onde o bêbado está agora é o último lugar onde o viu.
Agora acrescente um cachorro sem coleira, que acompanha o dono. O cachorro também anda ao acaso, atraído por cada cheiro novo. Mas sempre que se afasta demais, o bêbado o chama, e ele volta.
Essa chamada é o ponto da analogia. Encontrar o cachorro passa a ser uma boa pista de onde está o bêbado, e vice-versa, porque existe um mecanismo que corrige a distância entre os dois. Em econometria isso se chama mecanismo de correção de erros.
Séries integradas e a origem do termo
Para entender a palavra "cointegradas", vale começar por séries integradas.
Uma série não estacionária que se torna estacionária depois de ser diferenciada n vezes é dita integrada de ordem n. Diferenciar significa trabalhar com a variação entre períodos consecutivos em vez do nível da série.
Um preço de ação costuma ser integrado de ordem 1: o preço em si vaga sem rumo, mas a variação diária oscila em torno de um valor estável.
Para duas séries cointegrarem, cada uma precisa ser integrada da mesma ordem, e daí vem o prefixo co. A condição é que alguma combinação linear entre elas seja integrada de ordem menor. Com duas séries de ordem 1: se existe uma combinação que resulta numa série estacionária, elas cointegram. Essa combinação é a relação de cointegração, formalizada por Engle e Granger em 1987.
Como funciona o teste de Engle-Granger
O teste segue direto da definição, em dois passos.
O primeiro passo estima a regressão de uma série contra a outra por mínimos quadrados e guarda o resíduo. Esse resíduo é justamente a combinação linear entre as duas séries.
O segundo passo testa se esse resíduo é estacionário. Se for, as séries cointegram; se não for, a relação entre elas era espúria.
A hipótese nula é a de ausência de cointegração. Rejeitá-la, com p-valor abaixo de 0,05, é o que indica relação de longo prazo.
Há uma sutileza nos valores críticos: eles não são os mesmos do teste de raiz unitária comum, porque aqui o resíduo é estimado e não observado. MacKinnon calculou os valores apropriados, adotados pela implementação do statsmodels usa.
O exercício: PETR3 e PETR4
Aplicamos o teste a um par natural: as ações ordinárias (PETR3) e preferenciais (PETR4) da Petrobras. São papéis da mesma empresa, com direitos diferentes, então há razão econômica para esperar que os preços caminhem juntos.
A amostra vai de abril de 2021 a abril de 2022, um ano de pregões, com preço de fechamento ajustado coletado pela biblioteca yfinance. Sem esse ajuste, o dia do pagamento de um dividendo apareceria como queda e contaminaria o teste.
As duas trajetórias sobem e descem juntas, mantendo uma distância aproximadamente constante. Olhar essa diferença diretamente deixa o ponto ainda mais claro.
Passo 1: confirmar que as séries são não estacionárias
Antes de testar cointegração, é preciso confirmar que cada série é integrada da mesma ordem. Usamos o teste ADF, cuja hipótese nula é a de que a série tem raiz unitária, ou seja, é não estacionária.
Testamos três especificações, porque a escolha muda o resultado: sem constante, com constante, e com constante e tendência.
| Série | Especificação | Estatística | p-valor |
|---|---|---|---|
| PETR3 | sem constante | 1,4109 | 0,9602 |
| PETR3 | com constante | -0,9821 | 0,7597 |
| PETR3 | constante e tendência | -2,4160 | 0,3712 |
| PETR4 | sem constante | 1,1769 | 0,9379 |
| PETR4 | com constante | -1,1695 | 0,6866 |
| PETR4 | constante e tendência | -2,6793 | 0,2448 |
Todos os p-valores ficam bem acima de 0,05. Não rejeitamos a hipótese nula, então as duas séries são não estacionárias em nível, integradas de ordem 1, como esperado para preços de ações.
Essa é a condição de entrada: as duas são integradas da mesma ordem, então faz sentido testar se cointegram.
Passo 2: o teste de cointegração
Agora a hipótese nula é a de ausência de cointegração. Queremos p-valor abaixo de 0,05 para concluir que as séries caminham juntas no longo prazo.
| Especificação | Estatística | p-valor | Conclusão |
|---|---|---|---|
| sem constante | -1,1176 | 0,6510 | não rejeita |
| com constante | -4,2028 | 0,0036 | rejeita: cointegram |
| constante e tendência | -4,0382 | 0,0246 | rejeita: cointegram |
Com constante, o p-valor fica abaixo do limiar e rejeitamos a hipótese nula. PETR3 e PETR4 cointegram no período analisado.
A escolha da especificação altera o resultado. Sem constante, o p-valor sobe muito acima do limiar e a conclusão se inverte. Não é defeito do teste: o spread entre as duas ações tem média diferente de zero, como o gráfico mostrou, e sem permitir a constante o teste procura algo que os dados não têm.
A escolha da especificação vem da inspeção gráfica, não de testar até dar significante.
O resíduo, que é o que o teste examina
É esse comportamento que o teste procura. Um resíduo que reverte à média indica que as duas séries estão presas por uma relação de longo prazo, a coleira invisível da analogia.
Veja o exercício rodando em vídeo
A aula abaixo percorre as mesmas etapas deste guia, com o código rodando na tela.
Considerações finais
O exercício mostra o caminho completo, e cada etapa existe por um motivo.
Confirmar que as séries são integradas da mesma ordem vem primeiro, porque testar cointegração entre séries de ordens diferentes não faz sentido.
A especificação do teste precisa vir do gráfico. No caso de PETR3 e PETR4, o spread tem média positiva, e a versão com constante é a única das três que dá a resposta adequada.
E o resultado vale para o período testado, não para sempre. Relações de cointegração se rompem: mudança de governança, alteração em política de dividendos ou entrada de um ativo em índice podem quebrar o vínculo. Quem usa isso em estratégia refaz o teste periodicamente, com janela móvel.
Dominar esse ferramental muda o trabalho de quem lida com séries temporais:
- Analista quantitativo — identifica pares aptos a estratégias de long-short e sabe quando a relação deixou de valer.
- Economista — testa relações de longo prazo entre variáveis macro, como juros e inflação ou câmbio e preços.
- Analista de risco — distingue correlação espúria de vínculo estrutural antes de dimensionar exposição.
- Pesquisador — evita a regressão espúria, o erro clássico de relacionar séries não estacionárias sem verificar cointegração.
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Referências
ENGLE, R. F.; GRANGER, C. W. J. Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing. Econometrica, v. 55, n. 2, p. 251-276, 1987.
MURRAY, M. P. A drunk and her dog: an illustration of cointegration and error correction. The American Statistician, v. 48, n. 1, p. 37-39, 1994.
MACKINNON, J. G. Critical values for cointegration tests. In: ENGLE, R. F.; GRANGER, C. W. J. (Ed.). Long-run economic relationships: readings in cointegration. Oxford University Press, 1991.
