Modelo de Solow: a teoria do crescimento no longo prazo

O modelo de Solow é uma teoria do crescimento de longo prazo, ou seja, uma explicação de por que a renda de um país se estabiliza em determinado nível e do que precisa acontecer para que ela continue subindo.

Ele responde a três perguntas: por que países acumulam capital até certo ponto e param, por que os pobres podem crescer mais rápido que os ricos, e por que apenas a tecnologia sustenta o crescimento da renda por pessoa ao longo das décadas.

As diferenças que ele explica são grandes. Em 2023, um trabalhador brasileiro produzia US$ 39.790 contra US$ 149.427 de um americano, pouco mais de um quarto. Um sul-coreano, que em 1960 estava bem atrás do brasileiro, produzia US$ 102.405.

Neste artigo percorremos o modelo do começo: os fatos que ele precisa explicar, as duas equações que o compõem, o diagrama que as resume e as duas extensões que o aproximam da realidade, o progresso tecnológico e o capital humano.

A diferença entre as duas trajetórias se acumula por décadas, a partir de taxas de crescimento que divergem ano após ano. É esse tipo de fenômeno que a teoria do crescimento se propõe a explicar.

O ciclo econômico e o crescimento de longo prazo são dois fenômenos distintos. O ciclo trata do afastamento temporário entre o que a economia produz e o que ela poderia produzir, medido pelo hiato do produto, assunto que tratamos em Estimando o Hiato do Produto do Brasil usando a linguagem R.

O crescimento de longo prazo trata de outra coisa: onde esse potencial se situa e a que ritmo ele avança. É esse o objeto do modelo de Solow.

Os fatos que a teoria precisa explicar

Os fatos estilizados são regularidades que aparecem nos dados de praticamente todas as economias do mundo, independentemente do país e do período observado. Charles Jones, em Introdução à Teoria do Crescimento Econômico, organiza quatro deles como o ponto de partida da teoria do crescimento.

O papel deles é servir de alvo. Uma teoria do crescimento só é aceitável se conseguir reproduzir esses quatro padrões, e é contra eles que o modelo de Solow é avaliado.

Fato 1: a distância entre ricos e pobres é enorme

Em 2023, na Penn World Table, o percentil 90 da distribuição mundial de renda per capita tinha cerca de 21 vezes a renda do percentil 10. Nos extremos a diferença é ainda maior: Irlanda e Catar passam de US$ 115 mil por habitante, enquanto Burundi e Sudão do Sul ficam abaixo de US$ 1.100.

Comparar renda entre países exige um cuidado. Cada país mede o próprio produto em sua moeda, e a taxa de câmbio de mercado não reflete o que aquele dinheiro compra localmente.

A correção é a paridade de poder de compra, que converte todos os valores para uma cesta comum de bens. Mostramos como calcular essa medida para o Brasil em Como calcular Paridade do Poder de Compra para o Brasil usando o Python.

A tabela abaixo fixa a ordem de grandeza para um grupo de países conhecidos. Ela traz as duas medidas de renda usadas no exercício e o crescimento médio de todo o período.

As duas primeiras colunas medem coisas diferentes. O PIB per capita divide o produto pela população inteira e mede o padrão de vida médio, enquanto o PIB por trabalhador divide pelas pessoas ocupadas e mede a produtividade de quem efetivamente produz.

As duas medidas divergem quando muda a proporção de pessoas trabalhando. Um país com população envelhecida ou baixa participação no mercado de trabalho tem PIB por trabalhador relativamente alto e PIB per capita mais baixo, porque menos gente sustenta o mesmo total de habitantes.

Dados de 2023. PIB real pelo lado do produto, em dólares de paridade de poder de compra de 2021. Crescimento médio calculado sobre a variação anual do logaritmo do PIB por trabalhador. Fonte: Penn World Table 11.0.

Fato 2: as taxas de crescimento variam muito entre países

Não são só os níveis de renda que diferem. A velocidade com que cada país avança também é distinta, e é ela que determina se a distância aumenta ou diminui ao longo do tempo.

A tabela acima já mostra a amplitude dessas velocidades. A China cresceu 5,14% ao ano em média no período, contra 1,00% do México, uma diferença de mais de cinco vezes sustentada por sete décadas.

O gráfico abaixo abre esse número médio ano a ano, num painel por país.

Uma diferença de um ponto percentual ao ano parece pequena numa comparação isolada. Sustentada por meio século, ela produz resultados muito distintos, por causa da composição dos juros.

Na prática: uma renda que cresce 2% ao ano dobra em 35 anos, enquanto outra que cresce 3% dobra em 23 anos. Ao fim de setenta anos, o país que crescia um ponto percentual a mais tem o dobro da renda do outro.

Esse fato exige da teoria uma explicação para a diferença de velocidade. Não basta explicar por que os países têm rendas diferentes; é preciso dizer o que faz um deles avançar mais rápido que o outro.

Fato 3: o crescimento de um mesmo país não é constante

Nenhuma economia cresce sempre no mesmo ritmo. A variação anual do gráfico anterior, porém, mistura oscilação de curto prazo com tendência, o que dificulta enxergar o movimento de fundo.

Agrupar os dados por década resolve isso. A média de dez anos dilui recessões e booms isolados, e o que sobra é a trajetória de longo prazo de cada país.

O Japão cresceu perto de 8% ao ano na década de 1960 e hoje cresce em torno de zero. A Coreia do Sul repetiu a trajetória com algumas décadas de atraso, com taxas acima de 6% nos anos 1970 e 1980 e desaceleração progressiva desde então.

O padrão se repete nos dois países: crescimento muito alto enquanto a renda é baixa, e desaceleração à medida que ela sobe. Nenhum dos dois manteve o ritmo inicial depois de alcançar o grupo dos ricos.

Essa desaceleração sistemática conforme o país enriquece é uma das previsões centrais do modelo de Solow. A seção sobre o diagrama mostra de onde ela vem.

Fato 4: a posição de um país na distribuição pode mudar

Ser pobre não é destino, e ser rico não é garantia. Países mudam de posição relativa, e a Coreia do Sul é o caso mais nítido do período coberto pelos dados.

Em 1960 a Coreia do Sul tinha cerca de 7% da renda per capita americana, pouco mais da metade dos 12% que o Brasil tinha à época. O país asiático era, naquele momento, bem mais pobre que o brasileiro.

Em 2023 a posição se inverteu: a Coreia chegou a 77% da renda americana e o Brasil, a 26%. Em seis décadas, um país saiu de um décimo da renda dos Estados Unidos para três quartos dela, enquanto o outro avançou pouco mais de dez pontos percentuais.

A comparação afasta explicações puramente geográficas ou culturais para a pobreza. Dois países que partiram de posições parecidas terminaram em lugares muito diferentes, o que indica que a trajetória depende de fatores que podem mudar.

Uma teoria do crescimento precisa, portanto, admitir mobilidade. Se o modelo previsse que cada país permanece indefinidamente na sua posição relativa, ele seria incompatível com o caso coreano.

O modelo básico de Solow

O modelo foi proposto por Robert Solow em 1956 e lhe rendeu o Nobel de 1987. Ele parte de um conjunto deliberadamente simples de hipóteses, e cada uma delas remove uma complicação do mundo real para deixar visível um mecanismo.

A economia é fechada, sem comércio nem fluxo de capital com o exterior. Assim, tudo que se investe no país precisa ter sido poupado no país, e a taxa de poupança determina diretamente o investimento.

Ela produz um único bem homogêneo, que serve tanto para consumo quanto para investimento. A hipótese elimina a necessidade de tratar preços relativos entre setores e permite falar de "produto" como uma quantidade só.

A tecnologia mede quanto se produz com uma dada quantidade de capital e trabalho. Dois países com as mesmas máquinas e os mesmos trabalhadores produzem quantidades diferentes se um deles organiza melhor a produção, e essa diferença é o que o modelo chama de tecnologia.

No modelo básico ela é exógena, crescendo a uma taxa constante fixada de antemão. A teoria toma essa taxa como ponto de partida e deriva dela o efeito do progresso técnico sobre a renda de longo prazo.

E as famílias poupam uma fração constante da renda, representada por s. Não há decisão de consumo ao longo do tempo: as pessoas simplesmente guardam a mesma proporção todo ano, rica ou pobre que a economia esteja.

Cada simplificação cumpre uma função no modelo. Juntas, elas isolam a acumulação de capital como único mecanismo em operação, o que permite medir até onde esse mecanismo sozinho explica as diferenças de renda entre países.

Modelos posteriores relaxaram cada uma delas. A poupança virou escolha intertemporal em Ramsey-Cass-Koopmans, a tecnologia virou decisão de investimento nos modelos de crescimento endógeno, e a economia aberta entrou na literatura de convergência entre países.

A primeira equação: a função de produção

A função de produção descreve como capital e trabalho se combinam para gerar produto. Ela responde a uma pergunta contábil: dada a quantidade de máquinas e de trabalhadores disponíveis, quanto a economia consegue produzir?

O modelo usa a forma Cobb-Douglas, batizada com o nome do economista Paul Douglas e do matemático Charles Cobb, que a propuseram em 1928:

Aqui Y é o produto, K o estoque de capital (máquinas, prédios, equipamentos), L a quantidade de trabalhadores e α um número entre 0 e 1.

O parâmetro α tem interpretação econômica direta: ele é a parcela da renda que remunera o capital, enquanto 1 − α é a parcela que remunera o trabalho. Como as duas somam 1, toda a renda gerada é distribuída entre os dois fatores.

Esse parâmetro pode ser medido nos dados. A Penn World Table publica a participação do trabalho na renda de cada país, e os valores em torno de 0,55 que aparecem na nossa amostra implicam um α próximo de 0,45.

Retornos constantes de escala

A função tem uma propriedade chamada retornos constantes de escala: dobrando capital e trabalho ao mesmo tempo, o produto dobra. Uma economia com o dobro de fábricas e o dobro de trabalhadores produz exatamente o dobro.

A hipótese permite tratar a economia inteira como se fosse uma fábrica representativa. Se ela não valesse, o tamanho do país mudaria a produtividade por si só, e países grandes seriam automaticamente mais ricos que pequenos, o que os dados não mostram.

É essa propriedade que autoriza a passagem seguinte. Como o interesse é o padrão de vida, e não o tamanho da economia, o modelo trabalha em termos por trabalhador.

Dividindo os dois lados por L e escrevendo y = Y/L e k = K/L, a expressão fica:

A leitura da equação é que o produto por trabalhador depende apenas do capital por trabalhador. O número absoluto de pessoas saiu de cena, e sobrou a pergunta que interessa: quanto equipamento cada trabalhador tem à disposição?

Os retornos decrescentes do capital

Como α é menor que 1, a curva y = k^α é côncava, ou seja, ela sobe com inclinação cada vez menor. Essa concavidade representa os retornos decrescentes do capital, a propriedade central do modelo.

Cada máquina adicional entregue ao mesmo trabalhador aumenta a produção, mas aumenta menos do que a máquina anterior aumentou. O ganho não desaparece, e sim encolhe a cada nova unidade.

A razão econômica é a escassez relativa do outro fator. Com o número de trabalhadores fixo, acrescentar equipamento significa dar mais máquinas às mesmas mãos, e chega um ponto em que parte delas fica ociosa.

O gráfico abaixo mostra a curva com α = 0,25, gerada a partir da própria equação, sem dado observado.

A curva sobe rápido no início e vai achatando. Na figura, o produto por trabalhador sai de 1 quando k = 1 e chega perto de 3 quando k = 100, ou seja, multiplicar o capital por cem triplica a produção.

O contraste entre os dois trechos da curva dá a intuição. Sair de k = 1 para k = 16 já leva o produto de 1 para 2, enquanto dobrar de novo esse produto exigiria um capital muito maior que o dobro.

É o que se observa num escritório. O primeiro computador muda o trabalho de quem não tinha nenhum, e o quinto computador para a mesma pessoa não muda quase nada, porque ela continua sendo uma só para operá-los.

A consequência para um país é que a acumulação de capital tem fôlego limitado. Ela funciona muito bem enquanto o estoque é pequeno, e vai perdendo força à medida que a economia se equipa.

A segunda equação: a acumulação de capital

A primeira equação diz quanto se produz com o capital disponível. Falta saber de onde vem esse capital, e é isso que a segunda equação descreve: como o estoque muda ao longo do tempo.

O estoque de capital cresce com o investimento e encolhe com a depreciação, de forma que a variação a cada período é a diferença entre os dois:

O ponto sobre o K indica variação no tempo, notação usual em modelos formulados em tempo contínuo. O que a equação afirma é que a variação do estoque num instante é a diferença entre o que entra e o que sai.

O termo sY é o investimento, sendo s a fração da renda que a economia poupa. Numa economia fechada, tudo que não é consumido vira investimento, de modo que a taxa de poupança determina diretamente quanto capital novo se instala a cada período.

O termo δK é a depreciação, ou seja, a parcela do estoque que se desgasta a cada período. Máquinas quebram, prédios envelhecem e equipamentos ficam obsoletos.

Uma taxa δ de 2% significa que a economia precisa repor 2% do estoque por ano apenas para manter o capital que já possui.

Mas o interesse é o padrão de vida, que depende do capital por trabalhador. Ao reescrever a equação nesses termos, aparece um terceiro elemento que não existia antes:

O capital por trabalhador aumenta com o investimento (sy) e diminui por duas razões distintas. A primeira é o desgaste do estoque existente (δk), que já estava na equação anterior.

A segunda é a diluição causada pela chegada de novos trabalhadores (nk). Se a população cresce a uma taxa n, o mesmo estoque de capital passa a ser repartido entre mais gente, e o capital por cabeça cai mesmo sem nenhuma máquina ter quebrado.

Os dois termos aparecem somados em (n + δ) porque produzem o mesmo efeito sobre k, embora por mecanismos diferentes. A depreciação destrói capital fisicamente, enquanto o crescimento populacional apenas o reparte entre mais pessoas.

O diagrama de Solow e o estado estacionário

As duas equações cabem num único gráfico, que é a forma clássica de apresentar o modelo. No eixo horizontal fica o capital por trabalhador, e no vertical, as três quantidades que dependem dele.

O gráfico abaixo usa α = 0,25, taxa de poupança de 50%, crescimento populacional de 1% ao ano e depreciação de 2% ao ano. Os valores são ilustrativos e servem para tornar visível o cruzamento que define o equilíbrio.

A curva superior é o produto por trabalhador, a mesma função de produção da seção anterior. Ela mostra quanto a economia gera para cada nível de capital.

A curva do meio é o investimento, que corresponde a uma fração constante do produto. Como é o produto multiplicado por s, ela tem exatamente o mesmo formato achatado da curva de cima, só que mais baixa.

A reta crescente é o que a economia perde por período, somando desgaste do estoque e diluição populacional. Ela é uma reta, e não uma curva, porque as perdas são proporcionais ao estoque: quanto mais capital existe, mais capital se desgasta, sempre na mesma proporção.

As duas formas geométricas se comportam de maneira distinta conforme o capital aumenta. O investimento cresce cada vez menos, por causa dos retornos decrescentes, enquanto as perdas crescem sempre no mesmo ritmo.

O estado estacionário

Como uma curva que desacelera e uma reta constante partem ambas da origem, elas necessariamente se cruzam em algum ponto. Esse cruzamento é o estado estacionário, marcado como k*, e no gráfico ele fica em torno de k = 42.

Ali o investimento apenas repõe o que se perde. O capital por trabalhador para de crescer, e com ele o produto por trabalhador, de modo que a economia se estabiliza num nível de renda constante.

Estabilizar não significa parar de investir. A economia continua poupando metade da renda e instalando máquinas novas todo ano, mas o volume investido passa a ser exatamente o necessário para cobrir o desgaste e equipar os trabalhadores que entram.

Por que a economia converge para esse ponto

Uma economia que esteja fora do cruzamento se move em direção a ele. É esse movimento de retorno que caracteriza k* como equilíbrio: a economia não apenas fica parada ali quando chega, como volta para lá quando é afastada.

À esquerda de k*, a curva de investimento está acima da reta de perdas. O país instala mais capital do que perde, o estoque por trabalhador sobe e a economia caminha para a direita, em direção ao cruzamento.

À direita de k*, a relação se inverte. As perdas superam o investimento, o estoque encolhe e a economia caminha para a esquerda, também em direção ao cruzamento.

Qualquer que seja o ponto de partida, portanto, a trajetória leva de volta a k*.

Uma guerra que destrua metade do capital de um país não muda o destino de longo prazo. Ela desloca a economia para a esquerda do gráfico, de onde o país volta a crescer rápido até reencontrar o mesmo equilíbrio de antes.

Foi essa previsão que a reconstrução da Alemanha e do Japão no pós-guerra tornou visível. Os dois países cresceram a taxas muito altas por cerca de duas décadas e depois desaceleraram, à medida que o estoque de capital se recompôs.

O que o modelo responde

O diagrama responde à pergunta inicial sobre por que alguns países são mais ricos que outros.

Uma taxa de poupança maior desloca a curva de investimento para cima. O cruzamento com a reta de perdas passa a acontecer mais à direita, e o país sustenta um estoque de capital por trabalhador mais alto.

Como o produto depende do capital, esse país também tem renda permanentemente mais alta. É o mecanismo que liga poupança e investimento ao padrão de vida de uma economia.

O crescimento populacional opera na direção contrária. Uma taxa n maior deixa a reta de perdas mais inclinada, o cruzamento se desloca para a esquerda e o país se estabiliza com menos capital e menos renda por trabalhador.

O modelo também explica o Fato 3, a desaceleração ao longo do tempo. Um país que começa longe do seu estado estacionário cresce rápido, porque o capital ainda é escasso e cada unidade nova rende muito.

À medida que a economia se aproxima de k*, o retorno decrescente reduz o ritmo, até o crescimento cessar no equilíbrio.

Foi o que os gráficos por década mostraram para o Japão e a Coreia do Sul: taxas muito altas no início e desaceleração progressiva conforme os países enriqueceram.

E explica o Fato 4, a mobilidade entre posições. Dois países com o mesmo estado estacionário mas em pontos diferentes da trajetória convergem para o mesmo nível de renda, o que dá ao mais pobre uma fase de crescimento mais rápido.

O limite do modelo básico

O modelo básico esbarra num problema sério: no estado estacionário, o produto por trabalhador para de crescer. A renda se estabiliza e fica lá para sempre.

Os dados dizem outra coisa. Os Estados Unidos crescem cerca de 2% ao ano em renda por trabalhador há mais de um século, sem qualquer sinal de estabilização, e o mesmo vale para as demais economias avançadas.

A previsão do modelo contradiz a observação mais básica sobre os países ricos, e é essa falha que as extensões tratam de corrigir.

Primeira extensão: o progresso tecnológico

A saída para o impasse é a tecnologia. Se o problema é que o capital esbarra em retornos decrescentes, a solução precisa vir de um fator que não esbarre nesse limite.

A tecnologia entra na função de produção multiplicando o trabalho:

O termo A é chamado de tecnologia aumentadora de trabalho. Quanto maior A, mais cada trabalhador produz com os mesmos recursos, seja porque opera máquinas melhores, seja porque a produção está organizada de forma mais eficiente.

O produto AL é a quantidade de unidades efetivas de trabalho, ou seja, o trabalho medido em eficiência e não em número de pessoas.

Uma economia com 100 trabalhadores e A = 2 tem as mesmas 200 unidades efetivas que outra com 200 trabalhadores e A = 1. As duas produzem o mesmo, com metade da mão de obra numa delas.

A mudança parece pequena, mas altera o resultado de fundo. Como A cresce continuamente, o denominador da renda por trabalhador nunca para de aumentar, e a renda por pessoa pode crescer para sempre.

No modelo de Solow, A é exógeno: cresce a uma taxa constante g determinada fora do modelo. A teoria trata o progresso tecnológico como um dado do problema, sem explicar de onde ele vem nem por que alguns países o geram mais rápido que outros.

A limitação está no centro da teoria: o modelo identifica a tecnologia como a única fonte de crescimento sustentado e, ao mesmo tempo, não explica o que a determina. Foi essa lacuna que motivou a literatura de crescimento endógeno a partir dos anos 1980.

Paul Romer e Robert Lucas passaram a modelar a produção de tecnologia como resultado de decisões de investimento em pesquisa, sujeitas a incentivo e a custo como qualquer outra decisão econômica.

Refazendo as contas em termos de unidades efetivas de trabalho, com ỹ = Y/AL e k̃ = K/AL, chega-se a um par de equações com a mesma estrutura de antes:

A diferença está no termo g dentro dos parênteses. O progresso tecnológico entra como mais uma força que dilui o capital por unidade efetiva de trabalho, ao lado do desgaste e do crescimento populacional.

Resolvendo para o estado estacionário, a renda per capita fica:

A renda de equilíbrio agora é multiplicada por A, que cresce continuamente à taxa g. O termo entre colchetes se estabiliza, como no modelo básico, mas o produto dos dois não para de subir.

Cada parte da expressão responde por uma coisa distinta. O nível de poupança determina onde a economia se estabiliza em relação à fronteira tecnológica, e a tecnologia determina se essa fronteira avança.

A conclusão do modelo é que, no longo prazo, o crescimento sustentado da renda por pessoa vem do progresso tecnológico. Poupar mais eleva o nível de renda de forma permanente, sem alterar a taxa de crescimento de longo prazo.

Um exemplo torna concreta a distinção entre nível e taxa. Um país que eleva a taxa de investimento de 15% para 25% do PIB fica permanentemente mais rico, e cresce acima do ritmo habitual durante a transição para o novo equilíbrio, que leva décadas.

Passada a transição, porém, ele volta a crescer à mesma taxa g de antes, agora num nível de renda mais alto. O investimento desloca a renda para cima uma única vez, enquanto a tecnologia a empurra continuamente, ano após ano.

Segunda extensão: o capital humano

Mankiw, Romer e Weil testaram o modelo de Solow contra dados de quase cem países em 1992, num dos artigos mais citados da macroeconomia.

O modelo acertava a direção das previsões e errava na magnitude. As diferenças de poupança e de demografia observadas entre os países eram pequenas demais para gerar as diferenças de renda que existem no mundo.

O diagnóstico dos autores é que o modelo básico atribui à tecnologia algo que é, em parte, diferença de qualificação. A formulação original trata todo trabalhador como idêntico, e trabalhadores não são idênticos, porque escolaridade e treinamento mudam quanto cada pessoa produz.

Um engenheiro e um trabalhador sem instrução formal aparecem na mesma variável L, contando cada um como uma unidade. A economia que investiu décadas em educação fica indistinguível daquela que não investiu.

A correção é incluir o capital humano (H), que mede o trabalho em unidades de qualificação, no lugar do trabalho bruto:

O capital humano se acumula quando as pessoas dedicam tempo a se qualificar em vez de trabalhar. Estudar tem custo de oportunidade, porque o ano gasto na escola é um ano a menos de produção, e o retorno vem depois, na forma de produtividade maior.

O modelo formaliza essa acumulação com uma relação exponencial:

Nessa expressão u é a fração de tempo dedicada à qualificação, L o número de trabalhadores e λ o retorno da qualificação.

O valor de λ não é arbitrário: vem da literatura de economia do trabalho, que estima em torno de 10% o ganho salarial por ano adicional de estudo. A estimativa aparece em dezenas de países e é uma das regularidades mais robustas da área.

A forma exponencial traduz uma propriedade dessa evidência. Cada ano de estudo multiplica o salário por um fator, em vez de somar um valor fixo, de modo que os ganhos se compõem ao longo da trajetória escolar.

Um caso concreto mostra o mecanismo. Para um único trabalhador, com um ano adicional de qualificação e λ = 0,10, o fator vale e^0,1 ≈ 1,10. O capital humano desse trabalhador sobe cerca de 10%: se ele produzia um sapato por hora, passa a produzir 1,1.

O caso limite ocorre quando λ = 0. Nessa situação a qualificação não altera a produtividade, de forma que H = L e o modelo volta a ser o anterior, com toda a mão de obra tratada como não qualificada. A extensão produz resultado diferente porque a evidência empírica estima λ em torno de 0,10, e não em zero.

A derivação segue os mesmos passos, agora em termos de AH, e a renda per capita no estado estacionário fica:

A expressão é a do modelo anterior multiplicada por h, o capital humano por trabalhador. Dois países com a mesma taxa de poupança e a mesma tecnologia podem ter rendas diferentes apenas porque suas populações têm níveis de escolaridade diferentes.

Com o capital humano incluído, o modelo passa a explicar cerca de 80% da variação de renda entre os países da amostra de Mankiw, Romer e Weil, contra aproximadamente 60% na versão sem ele.

A leitura para política pública é direta. Baixa escolaridade hoje se traduz em renda baixa por décadas, porque o capital humano de uma população se acumula na velocidade em que as gerações passam pela escola.

O efeito também é lento na direção contrária, o que explica por que reformas educacionais raramente aparecem no PIB do mandato que as fez. Uma criança alfabetizada hoje entra no mercado de trabalho daqui a quinze anos.

Onde o modelo é usado na prática

O modelo de Solow não fica restrito à sala de aula. Ele aparece sempre que uma decisão depende de projetar renda ou produtividade para um horizonte de vários anos, quando o ciclo econômico já se dissipou e o que resta é a tendência.

Projeção de crescimento potencial

Bancos centrais e instituições fiscais precisam de uma estimativa de quanto a economia pode crescer sem pressionar preços. O arcabouço de Solow organiza o cálculo ao decompor o crescimento em contribuição do capital, do trabalho e da produtividade.

A estimação parte da função de produção: projeta-se a evolução do estoque de capital a partir do investimento esperado, a da força de trabalho a partir da demografia, e a da produtividade a partir da tendência histórica. O produto potencial sai da combinação das três.

Uma aceleração vinda de ganho de produtividade não tem o mesmo efeito inflacionário de uma aceleração vinda de demanda. Confundir as duas leva a erro de dose na taxa de juros.

No Brasil, a Instituição Fiscal Independente e o Banco Central publicam estimativas de produto potencial construídas com essa lógica, e elas alimentam desde a projeção de arrecadação até a avaliação de quanto a economia comporta crescer.

Contabilidade do crescimento

A contabilidade do crescimento decompõe a variação do PIB nas parcelas atribuíveis a cada fator de produção, atribuindo o que sobra à produtividade total dos fatores. O resíduo é conhecido como resíduo de Solow, e é a medida usual de progresso tecnológico de um país.

O cálculo usa o α estimado pela participação do capital na renda para ponderar cada fator. Se o capital cresceu 4% e responde por 45% da renda, sua contribuição ao crescimento foi de 1,8 ponto percentual, e o mesmo raciocínio vale para o trabalho.

É esse exercício que sustenta afirmações do tipo "o crescimento brasileiro dos anos 2000 veio de acumulação de fatores, não de ganho de produtividade", comum em relatórios de conjuntura estrutural.

O diagnóstico muda a recomendação de política. Crescimento por acumulação de fatores esbarra nos retornos decrescentes e tende a perder força, ao passo que crescimento por produtividade não encontra esse limite.

Avaliação de política econômica

O modelo dá o critério para distinguir medida que muda o nível de renda de medida que muda a taxa de crescimento. Um aumento permanente da taxa de investimento eleva o nível de equilíbrio, com efeito transitório sobre o crescimento durante a transição.

Já política de educação e de inovação atua sobre capital humano e tecnologia, que são os canais de crescimento sustentado no modelo. A distinção muda a expectativa realista sobre quanto cada política entrega e em quanto tempo.

Projeções de longo prazo no mercado

Casas de análise e gestoras usam premissas de crescimento de longo prazo em modelos de valuation e em alocação entre países. A taxa de crescimento na perpetuidade de um fluxo de caixa descontado tende a ser ancorada em crescimento potencial, e não em extrapolação do último trimestre.

O mesmo raciocínio aparece em tese de investimento em mercados emergentes, quando a pergunta é se determinado país está em convergência para a fronteira ou estacionado na renda média. A trajetória da Coreia do Sul e a do Brasil, que aparecem nos gráficos acima, são os dois desfechos possíveis dessa aposta.

Veja a aula completa em vídeo

A aula abaixo percorre o mesmo caminho deste artigo, das observações iniciais até as duas extensões do modelo.

Considerações finais

O modelo de Solow continua sendo o ponto de partida da teoria do crescimento sessenta anos depois porque separa com clareza duas coisas que o debate público costuma misturar: o que muda o nível de renda de um país e o que muda a sua taxa de crescimento.

Investimento, poupança e demografia deslocam o nível. Só a tecnologia e a qualificação sustentam o crescimento indefinidamente. É uma distinção que muda a leitura de quase qualquer proposta de política econômica de longo prazo.

O modelo também deixa elementos de fora. A tecnologia entra como parâmetro fixado por fatores externos ao modelo, limitação que a literatura de crescimento endógeno passou a tratar a partir dos anos 1980.

Instituições, abertura comercial e qualidade da política econômica ficam ausentes das equações, embora a evidência empírica indique que pesam sobre a trajetória de um país. O modelo oferece uma estrutura de raciocínio sobre crescimento, a ser complementada por esses fatores na análise de um caso concreto.

O valor prático de dominar esse arcabouço muda conforme a área de atuação:

• Economistas e analistas de conjuntura: separar choque cíclico de mudança estrutural, e avaliar quando uma aceleração do PIB é convergência transitória ou ganho permanente.
• Analistas de investimento e estrategistas: fundamentar projeções de crescimento de longo prazo para países e setores, que alimentam modelos de valuation e alocação global.
• Servidores públicos e formuladores de política: distinguir medidas que elevam o nível de renda daquelas que afetam a trajetória, e calibrar a expectativa sobre o que investimento em infraestrutura ou educação entrega e em quanto tempo.
• Pesquisadores e estudantes de pós-graduação: dominar a derivação que serve de base para os modelos de crescimento endógeno e para boa parte da macroeconomia moderna.
• Consultores e profissionais de planejamento: sustentar cenários de longo prazo com um arcabouço reconhecido, em vez de extrapolar tendências recentes.

Referências

• Feenstra, R. C., Inklaar, R., & Timmer, M. P. (2015). The next generation of the Penn World Table. American Economic Review, 105(10), 3150-3182. Dados da Penn World Table 11.0.
• Jones, C. I. Introdução à Teoria do Crescimento Econômico. Rio de Janeiro: Campus.
• Mankiw, N. G., Romer, D., & Weil, D. N. (1992). A contribution to the empirics of economic growth. The Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407-437.
• Solow, R. M. (1956). A contribution to the theory of economic growth. The Quarterly Journal of Economics, 70(1), 65-94.

Leia também

• O modelo básico novo-keynesiano: como o Banco Central decide a taxa de juros
• Como obter dados macroeconômicos com o R? Um guia para sair do Excel