Modelo de Solow: a teoria do crescimento no longo prazo

Um trabalhador brasileiro produz hoje pouco mais de um quarto do que produz um trabalhador americano. Um sul-coreano, que em 1960 estava bem atrás do brasileiro, produz hoje quase o mesmo que o americano. O modelo de Solow é a teoria que organiza essas comparações: ele explica por que países acumulam capital até certo ponto e param, por que os pobres podem crescer mais rápido que os ricos, e por que, no fim das contas, só a tecnologia sustenta o crescimento da renda para sempre.

Este artigo percorre o modelo do começo: os fatos que ele precisa explicar, as duas equações que o compõem, o diagrama que resume tudo e as duas extensões que o aproximam da realidade — o progresso tecnológico e o capital humano.

A diferença não é um detalhe de conjuntura. Ela se acumula por décadas e é o tipo de fenômeno que a teoria do crescimento nasceu para explicar.

Os fatos que a teoria precisa explicar

Antes da teoria vêm as observações. Charles Jones, em Introdução à Teoria do Crescimento Econômico, organiza o ponto de partida em alguns fatos estilizados: regularidades que aparecem nos dados de praticamente todas as economias do mundo.

Fato 1: a distância entre ricos e pobres é enorme

Em 2023, na Penn World Table, o percentil 90 da distribuição mundial de renda per capita tinha cerca de 21 vezes a renda do percentil 10. Nos extremos a diferença é ainda mais brutal: Irlanda e Catar passam de US$ 115 mil por habitante, enquanto Burundi e Sudão do Sul ficam abaixo de US$ 1.100.

Uma tabela ajuda a fixar a ordem de grandeza para um grupo de países conhecidos.

Dados de 2023. PIB real pelo lado do produto, em dólares de paridade de poder de compra de 2021. Crescimento médio calculado sobre a variação anual do logaritmo do PIB por trabalhador. Fonte: Penn World Table 11.0.

Fato 2: as taxas de crescimento variam muito entre países

Não são só os níveis de renda que diferem. A velocidade com que cada país avança também é distinta, e é ela que determina se a distância aumenta ou diminui ao longo do tempo.

Uma diferença de um ponto percentual ao ano parece pequena numa comparação isolada. Sustentada por meio século, ela separa um país rico de um país de renda média.

Fato 3: o crescimento de um mesmo país não é constante

Nenhuma economia cresce sempre no mesmo ritmo. Agrupando os dados por década, o padrão fica visível.

O Japão cresceu perto de 8% ao ano na década de 1960 e hoje cresce em torno de zero. A Coreia do Sul repetiu a trajetória com algumas décadas de atraso. Essa desaceleração conforme o país enriquece é justamente o que o modelo de Solow prevê, e voltaremos a ela adiante.

Fato 4: a posição de um país na distribuição pode mudar

Ser pobre não é destino, e ser rico não é garantia. Países mudam de posição relativa, e a Coreia do Sul é o caso mais nítido do período coberto pelos dados.

Em 1960 a Coreia do Sul tinha cerca de 7% da renda per capita americana, pouco mais da metade dos 12% que o Brasil tinha à época. Em 2023 a Coreia chegou a 77% e o Brasil, a 26%. Dois países que partiram de posições parecidas terminaram em lugares muito diferentes, e explicar essa divergência é a tarefa da teoria.

O modelo básico de Solow

O modelo foi proposto por Robert Solow em 1956 e lhe rendeu o Nobel de 1987. Ele parte de um conjunto deliberadamente simples de hipóteses: uma economia fechada que produz um único bem, tecnologia dada de fora do modelo, e famílias que poupam uma fração constante da renda.

Essas simplificações não são um defeito. Elas isolam o mecanismo que interessa — a acumulação de capital — para que se possa entender o que ele consegue e o que não consegue explicar sozinho.

A primeira equação: a função de produção

A função de produção descreve como capital e trabalho se combinam para gerar produto. O modelo usa a forma Cobb-Douglas:

Aqui Y é o produto, K o estoque de capital (máquinas, prédios, equipamentos), L a quantidade de trabalhadores e α um número entre 0 e 1. Essa função tem retornos constantes de escala: dobrando capital e trabalho ao mesmo tempo, o produto dobra.

Como o interesse é o padrão de vida, e não o tamanho da economia, o modelo trabalha em termos por trabalhador. Dividindo os dois lados por L e escrevendo y = Y/L e k = K/L, a expressão fica:

O expoente α carrega a propriedade central do modelo: os retornos decrescentes do capital. Cada máquina adicional entregue ao mesmo trabalhador aumenta a produção, mas aumenta menos do que a máquina anterior.

A curva sobe rápido no início e vai achatando. É por isso que dar o primeiro computador a um escritório muda tudo, e o quinto computador para a mesma pessoa não muda quase nada.

A segunda equação: a acumulação de capital

A segunda equação descreve como o estoque de capital muda ao longo do tempo. Ele cresce com o investimento e encolhe com a depreciação:

O ponto sobre o K indica variação no tempo. O termo sY é o investimento, sendo s a fração da renda que a economia poupa. O termo δK é a depreciação: a parcela do capital que se desgasta a cada período, com δ sendo a taxa de desgaste.

Reescrevendo também essa equação por trabalhador, aparece um terceiro termo. Se a população cresce a uma taxa n, o mesmo estoque de capital passa a ser dividido entre mais gente:

A leitura é direta. O capital por trabalhador aumenta com o investimento (sy) e diminui por duas razões: o desgaste do estoque existente (δk) e a diluição causada pela chegada de novos trabalhadores (nk).

O diagrama de Solow e o estado estacionário

As duas equações cabem num único gráfico, que é a forma clássica de apresentar o modelo.

A curva superior é o produto por trabalhador. A curva do meio é o investimento, que é uma fração constante do produto e por isso tem o mesmo formato achatado. A reta crescente soma o que a economia perde por período, entre desgaste do estoque e diluição populacional.

O ponto onde a curva de investimento cruza a reta de perdas é o estado estacionário, marcado como k*. Ali o investimento apenas repõe o que se perde, o capital por trabalhador para de crescer e a economia se estabiliza.

O comportamento fora desse ponto é o que dá o mecanismo de convergência. À esquerda de k*, o investimento supera as perdas e o país acumula capital. À direita, as perdas superam o investimento e o estoque encolhe. Em ambos os casos a economia caminha de volta para k*.

Daí sai a resposta do modelo para a pergunta inicial: países que poupam e investem uma fração maior da renda sustentam um estoque de capital por trabalhador mais alto e, portanto, uma renda mais alta. Crescimento populacional acelerado empurra na direção contrária, ao diluir o capital entre mais trabalhadores.

Também sai daí a explicação para o Fato 3. Um país que começa longe do seu estado estacionário cresce rápido, porque o capital ainda é escasso e cada unidade nova rende muito. À medida que se aproxima de k*, o retorno decrescente do capital reduz o ritmo. Foi o que os dados do Japão e da Coreia do Sul mostraram.

Mas o modelo básico tem um limite incômodo: no estado estacionário, o produto por trabalhador para de crescer. Como os países ricos vêm crescendo há mais de um século, alguma coisa está faltando.

Primeira extensão: o progresso tecnológico

O que resolve esse impasse é a tecnologia. Ela entra na função de produção multiplicando o trabalho:

O termo A é chamado de tecnologia aumentadora de trabalho: quanto maior A, mais cada trabalhador produz com os mesmos recursos. O produto AL é a quantidade de unidades efetivas de trabalho, isto é, o trabalho medido em eficiência e não em número de pessoas.

No modelo de Solow, A é exógeno: cresce a uma taxa constante g, e o modelo não explica de onde vem esse crescimento. É uma limitação reconhecida, e foi ela que motivou a literatura posterior de crescimento endógeno.

Refazendo as contas em termos de unidades efetivas de trabalho, com ỹ = Y/AL e k̃ = K/AL, chega-se a um par de equações com a mesma estrutura de antes:

A diferença está no termo g dentro dos parênteses. O progresso tecnológico entra como mais uma força que dilui o capital por unidade efetiva de trabalho, ao lado do desgaste e do crescimento populacional.

Resolvendo para o estado estacionário, a renda per capita fica:

A renda de equilíbrio agora é multiplicada por A, que cresce continuamente. O nível de poupança determina onde a economia se estabiliza em relação à fronteira tecnológica; a tecnologia determina se essa fronteira avança.

A conclusão do modelo é forte: no longo prazo, o crescimento sustentado da renda por pessoa vem do progresso tecnológico, não da acumulação de capital. Poupar mais eleva o nível de renda de forma permanente, mas não a taxa de crescimento.

Segunda extensão: o capital humano

Mankiw, Romer e Weil (1992) apontaram que o modelo básico atribui a diferenças de tecnologia algo que é, em parte, diferença de qualificação. O modelo trata todo trabalhador como igual, e trabalhadores não são iguais: escolaridade e treinamento mudam a produtividade.

A correção é incluir o capital humano (H), que se pode ler como trabalho qualificado, no lugar do trabalho bruto:

O capital humano se acumula quando as pessoas dedicam tempo a se qualificar em vez de trabalhar. O modelo formaliza isso com uma relação exponencial:

Nessa expressão u é a fração de tempo dedicada à qualificação, L o número de trabalhadores e λ o retorno da qualificação. O valor de λ vem da evidência empírica, que estima em torno de 10% o ganho salarial por ano adicional de estudo.

Um caso concreto mostra o mecanismo. Para um único trabalhador, com um ano adicional de qualificação e λ = 0,10, o fator vale e^0,1 ≈ 1,10. O capital humano desse trabalhador sobe cerca de 10%: se ele produzia um sapato por hora, passa a produzir 1,1.

Repare no caso limite. Se λ = 0, então H = L e o modelo volta a ser o anterior, com toda a mão de obra não qualificada. A extensão só faz diferença porque a qualificação tem retorno.

A derivação segue os mesmos passos, agora em termos de AH, e a renda per capita no estado estacionário fica:

O resultado abre uma via de explicação que o modelo básico não tinha: dois países com a mesma taxa de poupança e a mesma tecnologia podem ter rendas diferentes apenas porque suas populações têm níveis de escolaridade diferentes. Baixa escolaridade hoje é renda baixa no longo prazo.

Veja a aula completa em vídeo

A aula abaixo percorre o mesmo caminho deste artigo, das observações iniciais até as duas extensões do modelo.

Considerações finais

O modelo de Solow continua sendo o ponto de partida da teoria do crescimento sessenta anos depois porque separa com clareza duas coisas que o debate público costuma misturar: o que muda o nível de renda de um país e o que muda a sua taxa de crescimento.

Investimento, poupança e demografia deslocam o nível. Só a tecnologia e a qualificação sustentam o crescimento indefinidamente. É uma distinção que muda a leitura de quase qualquer proposta de política econômica de longo prazo.

O modelo também deixa coisas de fora. A tecnologia entra como dado exógeno, sem explicação de origem, o que a literatura de crescimento endógeno passou a atacar. As instituições, a abertura comercial e a qualidade da política econômica não aparecem nas equações, embora a evidência empírica mostre que pesam. O modelo é um esqueleto para pensar, não uma descrição completa da realidade.

O valor prático de dominar esse arcabouço muda conforme a área de atuação:

• Economistas e analistas de conjuntura: separar choque cíclico de mudança estrutural, e avaliar quando uma aceleração do PIB é convergência transitória ou ganho permanente.
• Analistas de investimento e estrategistas: fundamentar projeções de crescimento de longo prazo para países e setores, que alimentam modelos de valuation e alocação global.
• Servidores públicos e formuladores de política: distinguir medidas que elevam o nível de renda daquelas que afetam a trajetória, e calibrar a expectativa sobre o que investimento em infraestrutura ou educação entrega e em quanto tempo.
• Pesquisadores e estudantes de pós-graduação: dominar a derivação que serve de base para os modelos de crescimento endógeno e para boa parte da macroeconomia moderna.
• Consultores e profissionais de planejamento: sustentar cenários de longo prazo com um arcabouço reconhecido, em vez de extrapolar tendências recentes.

Referências

• Feenstra, R. C., Inklaar, R., & Timmer, M. P. (2015). The next generation of the Penn World Table. American Economic Review, 105(10), 3150-3182. Dados da Penn World Table 11.0.
• Jones, C. I. Introdução à Teoria do Crescimento Econômico. Rio de Janeiro: Campus.
• Mankiw, N. G., Romer, D., & Weil, D. N. (1992). A contribution to the empirics of economic growth. The Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407-437.
• Solow, R. M. (1956). A contribution to the theory of economic growth. The Quarterly Journal of Economics, 70(1), 65-94.

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