No PIB dos municípios brasileiros, a grande maioria fica abaixo da média — e o cálculo está correto. Quando um resumo fica acima de quase todos os casos que deveria resumir, ele deixa de representar o conjunto. Neste artigo mostramos por que isso acontece e quais medidas usar nessas situações.
A média é a medida de centro mais usada, e na maior parte das situações ela funciona bem. Seu cálculo soma todos os valores e divide pelo número de observações, o que significa que cada observação entra na soma com o seu valor integral, por maior que ele seja. Um valor muito alto não é atenuado: ele entra inteiro.
Num conjunto de municípios, isso significa que São Paulo pesa tanto quanto uma cidade de mil habitantes. Como o PIB paulistano é milhares de vezes maior, ele sozinho desloca o resultado.
No gráfico aparecem duas linhas verticais. Uma marca a média; a outra marca a mediana, que é o valor que ocupa a posição central quando ordenamos todos os municípios do menor para o maior PIB — metade fica abaixo dela, metade acima.
A comparação entre as duas mostra qual descreve o município típico. A mediana cai dentro da faixa onde as barras se concentram, ou seja, onde está a maioria dos municípios. A média cai mais à direita, numa região em que quase não há barras.
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Por que a maioria fica abaixo da média
A explicação está no formato da distribuição. Quando os dados são assimétricos — muitos casos pequenos e poucos casos muito grandes —, a média é puxada na direção da cauda longa.
A mediana não sofre esse efeito porque seu cálculo ignora a magnitude dos valores e usa apenas a ordem em que eles aparecem. Se o PIB de São Paulo dobrasse amanhã, ele continuaria sendo o último da fila ordenada, e a posição central permaneceria a mesma. Já a média mudaria, porque o valor novo entraria inteiro na soma.
A diferença entre as duas medidas funciona, portanto, como um diagnóstico de assimetria: quanto mais distantes uma da outra, mais assimétrica é a distribuição.
O teste de sensibilidade
Para medir o quanto cada medida se deixa influenciar, retiramos uma única observação da amostra e recalculamos as duas.
Retirar o município de maior PIB derruba a média de forma perceptível. A mediana praticamente não se move.
Uma observação em mais de cinco mil desloca visivelmente uma das medidas e é quase invisível para a outra. Essa é a diferença entre uma medida sensível e uma medida robusta.
Ponto de ruptura: quanto cada medida aguenta
Até aqui, robustez é uma impressão: a mediana "aguenta mais". A estatística tem uma forma de medir isso com precisão, chamada ponto de ruptura.
A pergunta que ele responde é direta: qual a menor fração da amostra que, se corrompida, é capaz de levar o resultado a qualquer valor? Quanto maior essa fração, mais resistente é a medida.
Dá para medir isso experimentalmente. Substituímos uma parcela crescente dos municípios por valores muito acima de qualquer PIB observado — simulando erro de digitação ou contaminação da base — e acompanhamos o quanto cada medida se afasta do valor que tinha antes.
As duas linhas se comportam de maneira oposta. A da média sobe desde o primeiro ponto: basta uma fração pequena de dados corrompidos para ela se afastar muito do valor original. A da mediana permanece praticamente na horizontal enquanto a contaminação for minoritária, e só dispara quando os valores corrompidos passam da metade da amostra.
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Esse comportamento decorre de uma propriedade matemática das duas medidas. A média tem ponto de ruptura zero: uma única observação suficientemente extrema já a desloca para qualquer valor. A mediana tem ponto de ruptura de 50%.
E 50% é o teto para qualquer medida de centro, por uma razão simples: se mais da metade das observações estiver corrompida, os valores corrompidos passam a ser a maioria. Não existe critério estatístico capaz de dizer qual grupo é o dado legítimo e qual é a contaminação.
Dispersão: as alternativas ao desvio-padrão
O mesmo problema afeta a medida de espalhamento. O desvio-padrão calcula a distância de cada observação até a média e eleva essa distância ao quadrado antes de somá-la. Elevar ao quadrado amplia as distâncias grandes muito mais do que as pequenas: uma observação dez vezes mais distante do centro contribui cem vezes mais para o resultado.
Há duas alternativas robustas, e ambas se apoiam na mesma ideia da mediana.
IQR: a faixa central dos dados
O IQR, ou intervalo interquartil, parte dos quartis. Assim como a mediana divide o conjunto ordenado em duas metades, os quartis o dividem em quatro partes com o mesmo número de observações cada:
- o primeiro quartil deixa 25% dos municípios abaixo dele;
- o terceiro quartil deixa 75% abaixo.
A distância entre o primeiro e o terceiro quartil é o IQR: a largura da faixa que contém os 50% de municípios do meio da distribuição. Como o cálculo usa apenas esses dois pontos de corte, o que acontece nas pontas não entra na conta — o PIB de São Paulo poderia ser dez vezes maior sem alterar o resultado.
MAD: a distância típica até o centro
O MAD, ou desvio absoluto mediano, aplica a mesma ideia duas vezes:
- primeiro, calcula a distância de cada município até a mediana;
- depois, tira a mediana dessas distâncias.
Como as duas etapas usam mediana, e a mediana depende da ordem e não da magnitude, um valor extremo entra no cálculo apenas como “mais uma distância grande”, sem que o tamanho dele influencie o resultado.
O MAD calculado dessa forma sai numa escala menor que a do desvio-padrão, e comparar os dois números diretamente levaria a conclusões erradas. A solução é multiplicá-lo por um fator de ajuste fixo, escolhido de modo que, quando o dado realmente segue uma distribuição normal, MAD e desvio-padrão devolvam o mesmo valor. Com o ajuste, qualquer diferença entre os dois passa a indicar afastamento da normalidade, e não diferença de escala.
No PIB municipal, o desvio-padrão fica dezenas de vezes acima do MAD. As duas medidas descrevem partes distintas da mesma distribuição:
- o desvio-padrão descreve a cauda da distribuição, dominada pelas capitais;
- o MAD descreve o corpo dela, onde está a maioria dos municípios.
Repare ainda que o MAD fica próximo da própria mediana. Isso significa que a distância típica entre um município e o município central é da mesma ordem de grandeza do próprio valor central — ou seja, a desigualdade entre municípios comuns já é grande, mesmo deixando as capitais de fora. O desvio-padrão, dominado pelas capitais, não permite enxergar isso.
Quando usar cada medida
As duas famílias de medidas têm uso, e o que decide entre elas é o formato da distribuição.
Use as medidas clássicas — média e desvio-padrão — quando:
- a distribuição for aproximadamente simétrica e sem valores extremos;
- a soma total for o que interessa. Para calcular o PIB do país, a média dos municípios é exatamente o que se quer, porque cada real conta igual.
Use as robustas — mediana, IQR e MAD — quando:
- a distribuição for assimétrica;
- houver valores extremos legítimos que você não quer remover;
- a pergunta for sobre o caso típico. Renda, PIB municipal, tempo de resposta e preço de imóvel se encaixam aqui.
Reporte as duas quando o formato da distribuição for parte da informação que você quer transmitir. A distância entre média e mediana é, ela própria, uma medida de assimetria: publicar as duas permite ao leitor perceber o quanto a distribuição é torta.
O roteiro de diagnóstico
Duas razões resumem o diagnóstico e podem ser calculadas em qualquer conjunto de dados:
- média dividida por mediana;
- desvio-padrão dividido por MAD.
A referência é o valor 1, porque numa distribuição simétrica a média coincide com a mediana e o desvio-padrão ajustado coincide com o MAD. Razões próximas de 1 indicam, portanto, que as medidas clássicas bastam. Quanto mais as razões se afastam de 1, mais a assimetria e os valores extremos influenciam o resultado — e mais as medidas robustas se tornam a leitura adequada.
| Situação | O que usar |
|---|---|
| Distribuição simétrica, sem valores extremos | Média e desvio-padrão |
| A soma total é o que interessa (agregar o PIB do país) | Média — cada real conta igual |
| Distribuição assimétrica, com outliers legítimos | Mediana, IQR e MAD |
| A pergunta é sobre o caso típico | Mediana |
| Você quer ser honesto sobre a forma do dado | Reporte as duas — a distância entre elas é informação |
E a saída não é remover São Paulo: ele é um dado legítimo e economicamente relevante, não erro de digitação. O que muda é a medida escolhida para resumir o conjunto.
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Referências
HUBER, P. J. Robust estimation of a location parameter. The Annals of Mathematical Statistics, v. 35, n. 1, p. 73-101, 1964.
HUBER, P. J.; RONCHETTI, E. M. Robust statistics. 2. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2009.
MARONNA, R. A. et al. Robust statistics: theory and methods (with R). 2. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2019.
ROUSSEEUW, P. J.; CROUX, C. Alternatives to the median absolute deviation. Journal of the American Statistical Association, v. 88, n. 424, p. 1273-1283, 1993.
TUKEY, J. W. Exploratory data analysis. Reading: Addison-Wesley, 1977.
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