A volatilidade mede o quanto o preço de um ativo oscila, e é a medida de risco mais usada em finanças. Este tutorial mostra como estimá-la com os modelos ARCH e GARCH no R, usando os dados da VALE3 na B3: quase 20 anos de pregões, dos fatos estilizados até a comparação entre os dois modelos.
O ponto de partida é um problema incômodo: a volatilidade não é observável. O preço está na tela, o retorno se calcula direto do preço, mas a volatilidade é uma característica da distribuição dos retornos que ninguém publica. Ela precisa ser estimada — e o gráfico abaixo mostra por que os modelos tradicionais não dão conta disso.
À esquerda, os retornos: quase todas as barras ficam dentro do intervalo de confiança, ou seja, o retorno de hoje não ajuda a prever o de amanhã. À direita, os mesmos retornos elevados ao quadrado: barras altas que permanecem significativas por mais de 30 dias. A direção do preço é imprevisível, mas a intensidade da oscilação não é. É essa assimetria que os modelos ARCH e GARCH exploram.
Quer reproduzir esta análise?
O script completo em R (coleta da série na B3, cálculo dos retornos contínuos, diagnóstico de autocorrelação, estimação do ARCH e do GARCH e os gráficos no padrão da casa) vai para os assinantes do Boletim AM. Assine, é gratuito, e receba o código pronto para rodar.
Os quatro fatos estilizados da volatilidade
A literatura de finanças documentou quatro regularidades que aparecem em praticamente qualquer série de retornos, em qualquer mercado do mundo. Elas são chamadas de fatos estilizados, e são a razão de existir dos modelos ARCH e GARCH.
O primeiro é o agrupamento de volatilidade: dias agitados vêm seguidos de dias agitados, dias calmos vêm seguidos de dias calmos. A turbulência se concentra em blocos em vez de se espalhar uniformemente pelo tempo.
O segundo é a evolução contínua. A volatilidade muda de forma gradual, em rampas, e saltos bruscos de um dia para o outro são raros.
O terceiro é a estacionariedade: por mais alto que seja um pico, a volatilidade sempre volta para a sua média de longo prazo. Ela não cresce indefinidamente nem desaparece.
O quarto é a assimetria, também chamada de efeito alavancagem. Uma queda forte de preço eleva mais a volatilidade futura do que uma alta de mesma magnitude. O mercado reage mais ao susto do que à euforia.
Como o exercício foi construído
O caminho tem quatro etapas, e cada uma resolve um problema específico deixado pela anterior.
📥
🔄
🔍
📐
Por que o preço não serve para modelar
A série de preços da VALE3 sai de R$ 10 em 2007, cai para menos de R$ 5 em 2016 e supera R$ 80 em 2026. Ela passeia: nunca oscila em torno de um valor fixo.
Isso a torna não estacionária, o termo estatístico para uma série cuja média muda ao longo do tempo. Como quase toda a econometria de séries temporais pressupõe estacionariedade, modelar o preço diretamente produziria resultados sem sentido.
A transformação em retorno contínuo
A solução padrão é o retorno contínuo, também chamado de log-retorno: aplica-se o logaritmo aos preços e tira-se a primeira diferença da série.
Cada operação resolve uma coisa. O logaritmo estabiliza a variância, porque uma oscilação de R$ 1 pesa muito mais quando a ação custa R$ 5 do que quando custa R$ 80. A primeira diferença remove a tendência, deixando uma série que oscila em torno de zero.
O resultado já mostra o primeiro fato estilizado. A série oscila em torno de zero, como esperado, mas a amplitude dessa oscilação não é constante: há blocos densos de grandes variações em 2008, 2015-2016 e 2020, e blocos calmos em 2012-2014 e 2024-2025. O traço isolado de janeiro de 2019, uma queda de cerca de 28% num único pregão, é o rompimento da barragem de Brumadinho.
Medindo a volatilidade com janela móvel
A forma mais simples de quantificar isso é o desvio-padrão móvel: para cada dia, calcula-se o desvio-padrão dos retornos dos últimos 22 pregões, aproximadamente um mês.
O resultado é anualizado multiplicando por raiz de 252, o número aproximado de pregões num ano. Como a variância cresce proporcionalmente ao tempo, o desvio-padrão cresce com a raiz do tempo. Anualizar torna o número comparável com as taxas que o mercado costuma citar.
Este gráfico confirma três dos quatro fatos estilizados de uma vez. A série forma montanhas e vales em vez de ruído aleatório (agrupamento), sobe e desce em rampas em vez de degraus (evolução contínua) e sempre retorna para a linha da média (estacionariedade).
Na amostra completa, a volatilidade média anualizada da VALE3 é de 36,8%. O pico foi de 147% em 26 de março de 2020, no auge do choque da pandemia. O mínimo, de 6,3%, ocorreu em setembro de 2025.
Onde a memória da série se esconde
Aqui está o ponto central do exercício, o que motiva toda a família de modelos ARCH.
A função de autocorrelação (ACF) mede o quanto uma série se correlaciona com ela mesma defasada no tempo. Uma autocorrelação alta na defasagem 5 significa que o valor de hoje ajuda a prever o valor daqui a cinco dias.
O truque do exercício é comparar a autocorrelação dos retornos com a dos retornos ao quadrado. Elevar ao quadrado descarta o sinal do movimento e guarda apenas a magnitude, o que faz do retorno ao quadrado uma aproximação da variância daquele dia.
O contraste é gritante, como o gráfico do início do post mostra. E o teste de Ljung-Box, que verifica formalmente a hipótese de ausência de autocorrelação, confirma o que o olho vê.
| Série testada | Estatística | p-valor | Conclusão |
|---|---|---|---|
| Retornos | 42,95 | 0,000023 | Memória fraca |
| Retornos ao quadrado | 1.426,5 | < 0,0000001 | Memória forte |
Teste de Ljung-Box com 12 defasagens, VALE3, 4.875 pregões. Fonte: Yahoo Finance.
A estatística de teste salta de 42,95 nos retornos para 1.426,5 nos retornos ao quadrado. A memória na variância é ordens de grandeza mais forte do que a memória no retorno.
Esse fenômeno tem nome: heterocedasticidade condicional. Heterocedasticidade significa variância não constante; condicional significa que ela depende da informação passada. Em conjunto: a variância de amanhã depende do que aconteceu até hoje. E é justamente o que os modelos econométricos tradicionais, focados em prever a média, ignoram por construção.
Os dois modelos
ARCH: a variância depende dos choques passados
O modelo ARCH foi proposto por Robert Engle em 1982 e lhe rendeu o Nobel de Economia em 2003. A sigla vem de Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, e a ideia é aplicar à variância a mesma lógica autorregressiva que já se usava para a média.
Na prática, o modelo diz que a variância de hoje é uma constante somada aos choques passados elevados ao quadrado. Dias turbulentos recentes elevam a variância estimada para hoje; dias calmos a reduzem.
Uma restrição importante: os coeficientes precisam ser não negativos. O motivo é direto — variância negativa não existe, e sem essa restrição o modelo poderia produzir valores impossíveis.
Estimado sobre a VALE3, o coeficiente do choque defasado fica em 0,266 e é altamente significativo: cerca de 27% do choque de ontem se transmite para a variância de hoje.
GARCH: a variância também lembra de si mesma
O ARCH tem uma limitação prática. Como a memória da volatilidade é longa, capturá-la exigiria muitas defasagens, o que significa muitos parâmetros e estimativas instáveis.
Tim Bollerslev resolveu isso em 1986 com o GARCH, o ARCH generalizado. Em vez de empilhar defasagens dos choques, o modelo inclui também a própria variância passada. Esse termo carrega de forma recursiva toda a história anterior da volatilidade, e um único parâmetro faz o trabalho que exigiria dezenas de coeficientes num ARCH puro.
O modelo também impõe que a soma dos coeficientes seja menor que 1. Sem essa condição, a volatilidade explodiria em vez de retornar para a média, contrariando o terceiro fato estilizado.
O que os resultados mostram
| Parâmetro | ARCH(1) | GARCH(1,1) | O que mede |
|---|---|---|---|
| Choque defasado (α₁) | 0,266 | 0,054 | Impacto do choque de ontem |
| Variância defasada (β₁) | — | 0,939 | Herança da volatilidade de ontem |
| Persistência (α₁+β₁) | 0,266 | 0,993 | Velocidade de dissipação do choque |
| Critério AIC | −4,558 | −4,722 | Qualidade do ajuste (menor é melhor) |
Coeficientes estimados por máxima verossimilhança sobre 4.875 retornos diários da VALE3. Fonte: Yahoo Finance.
- O GARCH vence com folga. O critério AIC pondera o ajuste do modelo contra o número de parâmetros, e o GARCH(1,1) tem o menor valor mesmo pagando o custo de um parâmetro a mais. Não é coincidência: ele é o modelo de referência da literatura e supera especificações bem mais complexas na maioria das aplicações.
- A volatilidade é quase toda herdada. O coeficiente da variância defasada é 0,939, com estatística de teste de 166. A volatilidade de hoje vem, em sua maior parte, da volatilidade de ontem.
- Os choques demoram a se dissipar. A persistência de 0,993 fica abaixo de 1, o que garante que a série retorna à média, mas por estar tão próxima de 1 essa convergência é lenta. Na prática: um susto no mercado eleva a volatilidade por semanas, não por dias.
- O modelo passou no teste de aprovação. Se o GARCH capturou toda a heterocedasticidade, o que sobra nos resíduos deve ser ruído sem estrutura. É o que acontece: os testes de Ljung-Box e LM ARCH nos resíduos têm p-valores acima de 0,99. A memória na variância, gritante nos dados brutos, desapareceu.
Comparado ao desvio-padrão móvel, o GARCH produz uma curva mais suave e que reage mais rápido. A janela móvel trata todos os 22 dias com o mesmo peso e só esquece um choque quando ele sai da janela, o que cria platôs artificiais. O GARCH pondera as observações de forma decrescente, respondendo melhor ao que de fato aconteceu.
Os testes de normalidade rejeitam a hipótese de que os resíduos sigam uma distribuição normal, o que é típico de séries financeiras: elas têm caudas mais pesadas que a normal, ou seja, eventos extremos são mais frequentes do que a curva de sino prevê. Esse é o caminho natural de extensão do exercício, reestimando o modelo com uma distribuição t de Student.
As ferramentas por trás
- quantmod. Coleta a série histórica de preços e dá acesso ao fechamento ajustado por proventos.
- fGarch. Estima os modelos ARCH e GARCH por máxima verossimilhança e entrega os testes de diagnóstico dos resíduos.
- PerformanceAnalytics. Traz as métricas de risco e retorno usadas na análise descritiva.
- ggplot2. Constrói os gráficos no padrão visual da casa.
Considerações finais
O caminho percorrido aqui tem uma lógica única. Os preços não são estacionários, então trabalhamos com retornos. Os retornos não têm memória, mas os retornos ao quadrado têm, e essa é a assinatura da heterocedasticidade condicional. O ARCH modela o fenômeno pelos choques passados; o GARCH generaliza incluindo a própria variância passada, e ganha com menos parâmetros do que um ARCH equivalente precisaria.
Vale reparar no que foi necessário para chegar até aqui: dados públicos, alguns pacotes gratuitos e conhecimento do método. Vinte anos atrás, estimar um GARCH sobre duas décadas de pregões exigia software proprietário caro. Hoje cabe num script.
O R é a ferramenta certa para esse tipo de trabalho porque reúne num só ambiente a coleta dos dados, a modelagem econométrica e a visualização, com uma biblioteca de pacotes que cobre desde os modelos clássicos até as especificações mais recentes de volatilidade.
O alcance vai além deste exercício. O mesmo caminho — coletar, transformar, diagnosticar, modelar — se repete em quase todo problema de finanças quantitativas. O que muda é a aplicação:
- Analista de investimentos: dimensiona o risco de cada posição da carteira e identifica quando o mercado entrou num regime de turbulência.
- Gestor de portfólio: usa a volatilidade condicional como insumo para rebalancear a alocação conforme o risco muda.
- Profissional de risco: alimenta modelos de Value at Risk com uma estimativa de volatilidade que reage ao mercado, em vez de uma média histórica fixa.
- Trader de opções: compara a volatilidade estimada pelo modelo com a volatilidade implícita nos prêmios para identificar distorções de preço.
- Economista e pesquisador: aplica a mesma família de modelos a séries macroeconômicas, de inflação a câmbio, onde a incerteza também se agrupa no tempo.
Aprender a linguagem é o que abre a porta para todas essas frentes.
Você viu como funciona. Aprenda a construir.
Coletar dados de mercado, tratar séries financeiras, estimar modelos e apresentar o resultado num gráfico limpo é exatamente o percurso da formação Do Zero à Análise de Dados Econômicos e Financeiros usando R, feita para quem começa sem pré-requisito. Quem quer acesso a todas as formações tem o AM Black, a assinatura anual.
Referências
Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007.
Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307-327.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series. 3ª ed. Wiley.
Leia também:
