Volatilidade e modelos ARCH e GARCH

A volatilidade é uma forma de avaliação para ativos e séries financeiras mais importante do mundo das finanças. Esse indicador permite que seja avaliado o risco de um ativo, e com base na sua análise se tome a melhor decisão possível na alocação dos investimentos. Entretanto, a volatilidade possui diversas características que devem ser avaliadas de forma detalhada, não somente de forma descritiva, mas também para a construção de modelos. No post de hoje, iremos introduzir as características da volatilidade de séries financeiras e os modelo ARCH e GARCH.

Volatilidade

Modelos econométricos (os mais conhecidos) de séries univariadas, visam estimar o retorno esperado de uma série financeira, se preocupando apenas com o primeiro momento condicional da série. Na vida real, esse fato pode não ocorrer, afinal, ao estar consciente da queda passada de um ativo, ocorre um viés no investidor, o fazendo criar uma expectativa negativa futura sobre o ativo, afetando os seus valores futuros.

Outro ponto importante é que a volatilidade é não observável diretamente, ou seja, é necessário obter uma forma de estimá-la através de seus preços. Mas, mesmo que tenhamos isso em mente, devemos conhecer mais algumas caraterísticas importantes sobre a volatilidade para não incorrermos em erros nas avaliações e na montagem de modelos.

A volatilidade é alta em certos períodos e baixa em outros, configurando o que a literatura
chama de volatility cluster;
A volatilidade evolui de maneira contínua, de modo que saltos não são comuns;
A volatilidade costumar variar em um intervalo fixo (isso significa que a volatilidade é estacionária);
A volatilidade costuma reagir de forma diferente a um aumento muito grande nos preços e a um decréscimo igualmente muito grande, com o último representando maior impacto.


library(quantmod)
library(PerformanceAnalytics)
library(magrittr)
library(zoo)
library(fGarch)

De forma a compreendermos melhor as característica, iremos utilizar a série de preços ajustada da VALE3.

# Busca a série de preços da VALE3
getSymbols("VALE3.SA",
auto.assign = TRUE,
warnings = FALSE,
src = "yahoo")

# Retira o preço ajustado

vale_adj <- Ad(VALE3.SA)

# Gráfico do preço

plot(vale_adj)

Apesar de ser o ponto inicial, as características de um série de preço não é útil o suficiente para trabalharmos com a estimação da volatilidade, para isso, devemos realizar uma transformação para que a nossa série seja estabilizada e transformada em estacionária. A forma mais comum é realizar uma transformação em log, e depois retirar a primeira diferença da série, essa mudança é bem conhecida, sendo chamada de Retorno Contínuo.

Para o Retorno contínuo diário, temos, por suposto, algumas propriedades:

- O retorno médio é zero
- a variação do retorno muda ao longo do tempo
- com base nos retornos contínuos, calculamos uma medida de volatilidade (risco), com base no seu desvio padrão.

# Calculo os retornos contínuos

vale_ret <- diff(log(vale_adj)) %>%
na.omit()

# Gráfico do retorno contínuo diário

plot(vale_ret)

Vemos através do gráfico dos retornos diários que há períodos em que ocorre uma maior variação em relação a outros períodos.

Uma outra forma interessante de acompanhar essa variação ao longo do tempo é construindo um gráfico de volatilidade móvel mensal.

chart.RollingPerformance(R = vale_ret,
width = 22,
FUN = "sd.annualized",
scale = 252,
main = "Volatilidade móvel - 1 mês")

Com base nos gráficos, podemos entender que nossa série possui algumas características da volatilidade.

par(mfrow = c(1,2))

# Gráfico de auto correlação

acf_ret <- acf(vale_ret)

# Gráfico de auto correlação parcial

pacf_ret <- pacf(vale_ret)

Porém, para que possamos entender melhor a ideia de heterocedasticidade condicional, utilizamos o quadrado da série para que seja possível ver que elas não são independentes e que variancia é correlata.

par(mfrow = c(1,2))

# Gráfico de auto correlação dos retornos ao quadrado

acf_ret_ <- acf(vale_ret^2)

# Gráfico de auto correlação parcial do retornos ao quadrado

pacf_ret_ <- pacf(vale_ret^2)

Vemos a diferença as funções de autocorrelação, para confirmar esse ponto, realizamos um teste para confirmar.

Box.test(coredata(vale_ret^2), lag = 12, type = "Ljung")

Nós podemos rejeitar a hipótese nula de não autocorrelação nos retornos contínuo ao quadrado.

Construção do modelo

Com isso, entendemos que há existência de clusters de volatilidade e que os retornos próximos da série tendem a ter níveis de volatilidade semelhante, sendo assim, é necessário ter isso em mente na construção de modelos.

ARCH

O primeiro modelo que teve essa estrutura em sua base foi o ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), que pode ser definido na equação

(1) $\begin{align*} a_t = \sigma_t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \sigma_{t-1}^2 + ... + \alpha_m \sigma_{t-m}^2 \end{align*}$

onde $\varepsilon_t$ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância igual 1, $\alpha_0 > 0$ e $\alpha_i \geq 0$ para $i > 0$ .

Um modelo ARCH(m) é aquele em que a variância no tempo t é condicional as observações passadas da série m vezes, utilizando o quadrado das observações passadas.

arch1 <- garchFit(~1+garch(1, 0), data = vale_ret, trace = F)

GARCH

Por outro lado, podemos pensar também em considerar não somente as observações passadas, como também as variâncias passadas, adicionando no modelo mais parâmetros. Esse modelo é conhecido como GARCH ( Generelized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), com a equação

(2) $\begin{align*} a_t = \sigma^t \varepsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{m} \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{s} \beta_j \sigma_{t-j}^2, \end{align*} onde $\left \{ \varepsilon_t \right \}$$

é também uma sequência de variáveis aleatórias iid com média zero e variância igual a 1, $$\alpha_0 > 0$, $\alpha_i \geq 0$, $\beta_j \geq 0$ e $\sum_{i=1}^{max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) < 1$.$ De modo a entender as propriedades do modelo GARCH, convém fazer algumas modificações. Tomemos $\eta_t = a_t^{2} - \sigma_t^{2}$, assim $\sigma_t^{2} = a_t^2 - \eta_t$ . Iterando $\sigma_{t-i}^2 = a_{t-i}^2 - \eta_{t-i}$ para $(i = 0,...,s)$ na equação, nós podemos reescrever o modelo GARCH como

(3) $\begin{align*} a_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{max(m,s)} (\alpha_i + \beta_i) a_{t-i}^2 + \eta_t + \sum_{j=1}^{s} \beta_j \eta_{t-j}. \end{align*}$

Assim, o modelo GARCH pode ser considerado uma aplicação da ideia dos modelos ARMA ao quadrado de $a_t$ .

garch1 <- garchFit(~1+garch(1,1), data = vale_ret, trace = F)

Oferta Especial!

No próximo dia 17, das 9h às 19h da manhã, você terá a chance de participar do pré-lançamento do treinamento Análise de Dados Macroeconômicos e Financeiros no R. Para concorrer a uma das vagas com desconto, acesse o link e conheça os detalhes.

____________________

Compartilhe esse artigo

Comente o que achou desse artigo

Boletim AM

Receba diretamente em seu e-mail gratuitamente nossas promoções especiais
e conteúdos exclusivos sobre Análise de Dados!

Assinar

Encontre o seu conteúdo

Categorias

Artigos mais acessados

Criando um Dashboard de análise de Ações no Python

Analisando séries temporais no Python e esquecendo de vez o Excel

Cálculo do Retorno Econômico de uma Política Pública

Simplificando análises de dados manuais do Excel usando o Python

Como automatizar o tratamento de dados feito no Excel usando o Python?

Como analisar dados financeiros com o Python? Um exercício para quem deseja sair do Excel

Outros artigos relacionados

Criando um Dashboard de análise de Ações no Python

Um Dashboard é um painel de controle que consolida uma variedade de informações sobre um determinado objeto de estudo em um ou mais painéis. Ele simplifica significativamente o processo de análise de dados, oferecendo uma visão global e fácil de entender. Uma maneira simples de construir um Dashboard para acompanhar uma ação específica é utilizando duas ferramentas: Quarto e Python. Neste post, mostramos o resultado da criação de um Dashboard de Ação.

Analisando séries temporais no Python e esquecendo de vez o Excel

Séries temporais representam uma disciplina extremamente importante em diversas áreas, principalmente na economia e na ciência de dados. Mas, afinal, como lidar com esses dados que se apresentam ao longo do tempo? Neste exercício, demonstraremos como compreender uma série temporal e como o Python se destaca como uma das melhores ferramentas para analisar esse tipo de dado.

Cálculo do Retorno Econômico de uma Política Pública

Como podemos traduzir os efeitos de uma política pública para valores monetários? Essa é uma tarefa árdua que requer algumas premissas, entretanto, com métodos bem definidos, é possível obter estimativas precisas dos ganhos e os gastos de uma política pública.

Neste exercício, demonstramos tal método usando a política hipotética "Mãe Paranense”, um conjunto de ações que visam reduzir a mortalidade materna e infantil no estado. Usamos a linguagem R como ferramenta para analisar os dados.