Para calcular a taxa de desemprego, o IBGE não entrevista os mais de 200 milhões de brasileiros. Entrevista algumas dezenas de milhares e, a partir desse grupo, estima o resultado do país inteiro — informando também o quanto esse número pode variar — a margem de erro que acompanha o resultado. Neste artigo mostramos de onde vem essa margem e por que ela continua válida mesmo quando a população estudada está longe de ser normal.
Suponha que a taxa de desemprego calculada nessa amostra tenha sido de 8%. Se o IBGE tivesse sorteado outro conjunto de domicílios, no mesmo dia e pelo mesmo critério, o resultado não seria exatamente 8% — poderia dar 7,8% ou 8,3%, porque as pessoas entrevistadas seriam outras.
Nenhum desses valores estaria errado: todos são estimativas legítimas obtidas de amostras diferentes da mesma população. A questão prática é saber qual a amplitude dessa variação. Se amostras diferentes produzem resultados entre 7,8% e 8,3%, a estimativa é confiável dentro de alguns décimos. Se produzissem valores entre 5% e 11%, o número divulgado diria pouco sobre o país.
Responder a essa pergunta exige conhecer o comportamento da média amostral: se repetíssemos a pesquisa várias vezes, sorteando pessoas diferentes a cada rodada, cada amostra produziria uma média um pouco diferente. Essas médias formam uma distribuição própria, e é a dispersão dela que responde o quanto o resultado pode variar.
Em princípio, para conhecer essa distribuição seria preciso conhecer a distribuição da população inteira — que é justamente o que a pesquisa não sabe, pois entrevistou apenas uma parte dela.
O Teorema Central do Limite resolve esse impasse. Ele afirma que, conforme o tamanho da amostra cresce, a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição normal — aquela com formato de sino, simétrica em torno da média. E isso vale qualquer que seja a distribuição da população de origem: ela pode ser assimétrica, ter caudas pesadas ou nem sequer se parecer com um sino.
É essa independência em relação à população de origem que torna o teorema utilizável na prática: podemos calcular a precisão de uma média estimada sem precisar descobrir antes como a população se distribui.
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Começando por uma população distante da normal
Para testar o teorema, convém partir de uma população que esteja claramente distante da normal — se a convergência aparecer no caso difícil, aparece também nos casos comuns. Usamos a oscilação diária do Ibovespa em módulo: o quanto o índice se moveu a cada pregão, tomando o valor absoluto da variação, sem distinguir alta de queda.
Essa variável tem três características que a afastam do sino:
- nunca é negativa, porque tomamos o valor absoluto: uma queda de 2% e uma alta de 2% entram no cálculo como o mesmo número;
- concentra a maior parte dos pregões em valores baixos;
- apresenta uma cauda longa à direita, formada pelos pregões de oscilação muito acima da usual.
O grau dessa torção se mede pela assimetria, que indica se a distribuição se estende mais para um lado do que para o outro. Uma distribuição normal tem assimetria igual a zero, por ser perfeitamente simétrica em torno da média; valores positivos indicam cauda mais longa à direita. A oscilação do Ibovespa fica bem acima dessa referência.
Um método que pressuponha normalidade aplicado diretamente sobre esse dado produziria resultados incorretos, porque a suposição não descreve o comportamento da variável. E é exatamente essa distância em relação à normal que faz dela um bom caso para testar o teorema: se a convergência aparecer aqui, aparece em qualquer lugar.
O experimento: o que acontece com a média de amostras
O procedimento tem três passos, repetidos para tamanhos crescentes de amostra:
- sorteamos uma amostra de tamanho n dessa população;
- calculamos a média dessa amostra e guardamos o valor;
- repetimos o sorteio milhares de vezes, de modo que as médias obtidas formem elas próprias uma distribuição, que é o objeto que queremos observar.
Cada sorteio produz um número: a média daquela amostra. Ao repetir o procedimento milhares de vezes, obtemos milhares desses números, e são eles que passam a ser o dado analisado. A oscilação diária do Ibovespa continua com a mesma distribuição assimétrica de sempre; o que vamos observar daqui em diante é a distribuição das médias calculadas a partir dela.
Cada painel mostra o resultado para um tamanho de amostra, e a mudança de formato é gradual:
- com amostras muito pequenas, o histograma ainda carrega a torção da população de origem;
- com algumas dezenas de observações, já aparece um sino reconhecível, ainda que levemente inclinado para a direita;
- com amostras grandes, o histograma e a curva prevista se sobrepõem.
A linha azul-escura sobreposta a cada painel é a distribuição normal que o teorema prevê. Ela não foi ajustada aos histogramas simulados: seus dois parâmetros saem apenas da média e do desvio-padrão da população de origem, calculados antes de qualquer sorteio. O encaixe entre as barras e a curva, portanto, não foi produzido por nenhum ajuste — é o que o teorema anteciparia sem ver o experimento.
Nada mudou na população entre um painel e outro: os sorteios saem sempre da mesma série, com a mesma assimetria. O único parâmetro alterado foi o tamanho da amostra usada para calcular cada média. O sino que aparece nos últimos painéis, portanto, é produto da média, e não de alguma mudança no dado de origem.
Acompanhando a assimetria das médias
Em vez de comparar formatos visualmente, podemos acompanhar um único número: a assimetria das médias a cada tamanho de amostra, medindo o quanto ela se aproxima de zero.
A curva desce de forma contínua. Com amostras pequenas, a assimetria das médias fica próxima da assimetria da população de origem — as médias ainda herdam o formato torto do dado. Conforme o tamanho da amostra cresce, esse valor encolhe em direção a zero, que é a assimetria de uma distribuição normal.
Repare que a convergência acontece de forma gradual, sem um ponto de corte a partir do qual a distribuição passe a ser normal. Existe uma regra prática bastante difundida de que trinta observações bastariam, e ela vem de uma situação típica: populações moderadamente assimétricas costumam convergir por volta desse tamanho. Como a velocidade depende do formato da população de origem, a regra funciona como referência inicial, não como critério: quanto mais assimétrica a população, maior o tamanho de amostra necessário.
Qual normal o teorema especifica
Até aqui o teorema afirmou que a distribuição das médias se aproxima de uma normal. Mas existem infinitas distribuições normais, cada uma com seu centro e sua dispersão. O teorema também especifica qual delas se trata, e é dessa especificação que sai a fórmula da margem de erro.
A distribuição das médias amostrais tem duas características:
- fica centrada na média da população;
- tem dispersão igual ao desvio-padrão da população dividido pela raiz do tamanho da amostra.
Esse segundo termo tem nome próprio: é o erro-padrão da média. Ele mede o quanto a média estimada tende a variar de uma amostra para outra e, por isso, funciona como uma medida da precisão da estimativa. Quanto menor o erro-padrão, mais próximas entre si estariam as médias de pesquisas repetidas. A fórmula depende de duas informações apenas — a dispersão da população e o tamanho da amostra — e vale qualquer que seja o formato da distribuição de origem.
O gráfico compara, para cada tamanho de amostra, duas quantidades: o espalhamento que as médias simuladas de fato apresentaram e o que a fórmula do erro-padrão previa. As barras de cada par têm praticamente a mesma altura, o que indica que a fórmula descreve o resultado do experimento.
Repare no alcance desse resultado. A fórmula não consultou as simulações: ela parte de duas informações da população e antecipa o espalhamento de um experimento aleatório. É por isso que um instituto de pesquisa consegue anunciar a margem de erro de um levantamento antes de a coleta começar: basta definir o tamanho da amostra e ter uma estimativa da dispersão da população.
A consequência prática: a raiz de n
A raiz quadrada no denominador tem uma consequência direta sobre o custo de uma pesquisa. Como é a raiz de n que divide a dispersão, e não o próprio n, o ganho de precisão cresce mais devagar do que o tamanho da amostra:
- para dobrar a precisão, é preciso quadruplicar a amostra;
- para triplicar a precisão, é preciso multiplicá-la por nove.
Essa relação explica dois fatos que à primeira vista parecem contraditórios. De um lado, uma pesquisa domiciliar de grande porte mantém margem de erro perceptível mesmo com orçamento elevado, porque cada entrevista adicional contribui cada vez menos para a precisão. De outro, uma amostra de poucos milhares de pessoas já produz uma margem razoável para estimar o país inteiro, porque os primeiros milhares de entrevistas são justamente os que mais reduzem o erro-padrão.
O que o teorema sustenta na prática
Quando você lê que a taxa de desemprego é de determinado percentual com margem de erro de alguns décimos, essa margem foi construída sobre o teorema.
Ninguém conhece a distribuição exata da situação ocupacional dos brasileiros, e não é preciso conhecer. Basta que a amostra seja grande o bastante para que a distribuição da média já tenha convergido para a normal — e as dezenas de milhares de domicílios da PNAD Contínua estão muito acima desse limiar.
O mesmo raciocínio sustenta:
- intervalos de confiança em geral;
- testes de hipótese;
- boa parte dos testes de significância em regressão.
Em todos eles o procedimento parte do mesmo ponto. Conhecendo a distribuição da média — ou do coeficiente estimado numa regressão —, podemos calcular a probabilidade de observar um resultado como o obtido caso o efeito não existisse na população. Se essa probabilidade for muito baixa, atribuir o resultado ao acaso do sorteio fica difícil de sustentar.
Três limites que evitam o mau uso
🎯
⏳
⚠️
O primeiro limite separa duas coisas que costumam ser confundidas. O teorema fala da média, e não do dado: por maior que seja a amostra, a sua variável continua com a distribuição que sempre teve. Coletar mais retornos diários do Ibovespa não torna os retornos normais; o que se aproxima da normal é a distribuição das médias calculadas a partir deles.
O segundo diz respeito à velocidade da convergência, que depende da população de origem. Quanto mais assimétrica ou mais pesada a cauda, maior o n necessário — não existe número mágico que valha para todos os casos.
O terceiro é a exceção matemática. Distribuições com variância infinita, como a Cauchy, não se enquadram na versão usual do teorema. Na prática econômica isso raramente ocorre, mas a garantia não é incondicional.
O roteiro para aplicar o teorema com segurança cabe em quatro verificações:
| Passo | O que verificar |
|---|---|
| 1 | O objeto da análise é uma média (ou uma soma, ou um coeficiente estimado)? O teorema não se aplica a observações individuais. |
| 2 | Qual o grau de assimetria da população de origem? Quanto maior, maior a amostra necessária para a aproximação valer. |
| 3 | A variância da população é finita? Distribuições como a Cauchy ficam fora da versão usual do teorema. |
| 4 | As observações são independentes entre si? Em séries temporais com forte persistência, a amostra efetiva é menor do que o número de observações sugere. |
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Referências
CASELLA, G.; BERGER, R. L. Statistical inference. 2. ed. Pacific Grove: Duxbury Press, 2002.
DeGROOT, M. H.; SCHERVISH, M. J. Probability and statistics. 4. ed. Boston: Pearson, 2012.
EFRON, B.; HASTIE, T. Computer age statistical inference: algorithms, evidence, and data science. Cambridge: Cambridge University Press, 2016.
WASSERMAN, L. All of statistics: a concise course in statistical inference. New York: Springer, 2004.
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