Qual a relação entre o S&P 500 e a taxa de juro real?

A taxa de juros de um país define grande parte das decisões de curto e longo prazo dos agentes econômicos. No post de hoje, iremos analisar a relação entre a Taxa de Juro Real do EUA e o Índice S&P 500.

Ao lembrarmos do cálculo de preço de uma ação de uma empresa, consideramos que o seu preço hoje é definido com base nos fluxos de caixa esperados para a companhia ao longo do tempo, trazidos a valor presente por uma taxa de desconto.  Essa taxa de desconto é afetada, em partes, pela taxa de juro real da economia.

A taxa de juro real (ex-ante) é calculada de acordo com o juro nominal e a expectativa de inflação de um país. Em termos exatos, é definido pela equação:

Essa equação é usualmente aproximada pela taxa de juros menos a taxa de inflação:

r ≅ i – π

Essa aproximação é útil para taxa relativamente pequenas da taxa de juros e de inflação.

Voltando para o efeito da taxa de juro real em relação as empresas, é fácil perceber que não somente o juros nominais afetam severamente as decisões de curto prazo de agente, mas também as de longo prazo. Além disso, é importante reconhecer que há a necessidade de realizar o ajuste do juros pela expectativas na inflação. A suposição, é que quanto mais elevado a taxa de juro real de uma economia, mais descontado será o preço de empresas em uma bolsa, portanto, haverá relações negativas entre as duas variáveis.

Para avaliar essa suposição, e consequentemente o relacionamento entre o efeito taxa de juros reais sobre as empresas, usaremos o índice S&P 500 e a taxa de juros reais de 10 anos do EUA.

Coleta e análise os dados da Taxa de Juros Real do EUA

A Taxa de Juro Real do EUA é obtida através do FRED, especificadamente pelo código REAINTRATREARAT10Y, referente a Taxa de Juro de 10 anos, em frequência mensal. A instituição também disponibiliza as Taxas em 1 mês e 1 ano, também com frequência mensal.

Coletamos os dados por meio da função getSymbols, do pacote {quantmod}, utilizando o código e relatando a fonte dentro da função.

library(timetk)
library(feasts)
library(tsibble)
library(ggplot2)
library(patchwork)
library(dplyr)
library(quantmod)
library(forecast)

### Coleta de dados - Juros reais - 10-Year Real Interest Rate

getSymbols('REAINTRATREARAT10Y',
src = 'FRED'
)

### Tratamento - Juros reais - 10-Year Real Interest Rate

real_int <- REAINTRATREARAT10Y |>
tk_tbl(preserve_index = TRUE,
rename_index = 'date') |>
rename(real_int = REAINTRATREARAT10Y) |>
mutate(date = yearmonth(date)) |>
as_tsibble(index = date)

Para o tratamento, transformamos os dados em tibble, e posteriormente em tsibble. Isso permitirá o uso de funções gráficas do pacote {feast}. Vejamos abaixo os gráficos da Taxa de Juros Real - 10 anos, vemos que há uma tendência de queda do indicador, bem como pequenos pontos de volatilidades ao longo do tempo.

</pre>
### Analisando - Juros reais - 10-Year Real Interest Rate

real_int |>
gg_tsdisplay(y = real_int,
plot = c("histogram")) 

Coleta e análise os dados do S&P 500

O Standard & Poor's 500 é um índice composto por cerca de 500 ativos. Vamos utiliza-lo como medida que represente as empresas norte americanas. Abaixo, coletamos os dados do índice através do Yahoo Finance, por meio do pacote {quantmod}, utilizando a função getSymbols.

</pre>
### Coleta de dados - S&P 500

getSymbols('^GSPC',
src = 'yahoo',
from = min(index(REAINTRATREARAT10Y))
)

### Tratamento de dados - S&P 500

sp_monthly_tbl <- to.monthly(GSPC) |>
tk_tbl(preserve_index = TRUE,
rename_index = 'date') |>
select(date,
price_adjusted = GSPC.Adjusted
) |>
mutate(date = yearmonth(date)) |>
as_tsibble(index = date)
<pre>

Na parte de tratamento dos dados, alteramos a frequência para mensal (como forma de igualar o período com a Taxa de Juros Real), além de transformar em tibble (os dados são importados em classe xts), e posteriormente em tsibble.

Pelo gráfico, é possível perceber que há uma tendência de alta no índice.

</pre>
### Analisando - S&P 500

sp_monthly_tbl |>
gg_tsdisplay(y = price_adjusted,
c("histogram"))
<pre>

Qual a relação entre as duas variáveis?

Acima entendemos as propriedades estatísticas de ambas as variáveis. Seguiremos a construir uma forma de obter o relacionamento entre ambas as variáveis.

</pre>
### Relação entre as variáveis
ir_plot <- ggplot(real_int, aes(x = date))+
geom_line(aes(y = real_int), size = 0.8, color = "darkblue")+
scale_y_continuous(breaks = seq(-3, 8, by = 2),
labels = scales::label_percent(scale = 01))+
labs(title = "Juros reais - 10-Year Real Interest Rate",
subtitle = "Código: REAINTRATREARAT10Y",
x = '',
y = '',
caption = "Fonte: FRED | Elaborado por: analisemacro.com.br")

sp_plot <- ggplot(sp_monthly_tbl, aes(x = date))+
geom_line(aes(y = price_adjusted), size = 0.8, color = "darkred")+
labs(title = "Índice S&P 500",
subtitle = "Código: ^GSP",
x = '',
y = '',
caption = "Fonte: Yahoo Finance | Elaborado por: analisemacro.com.br")

# Coloca lado a lado com o {patchwork}
ir_plot + sp_plot
<pre>

É possível analisar os gráficos da séries em conjunto. Vemos que a direção das séries são opostas ao longo do tempo, isso compactua com a suposição criada.

# Junta os dados
all_data <- real_int |> 
inner_join(sp_monthly_tbl, by = 'date') |> 
mutate(price_adjusted = log(price_adjusted))

</pre>
### Correlação

correlation::correlation(all_data)

# Parameter1 | Parameter2 | r | 95% CI | t(488) | p
# -------------------------------------------------------------------------
# real_int | price_adjusted | -0.78 | [-0.81, -0.74] | -27.32 | < .001***
#
# p-value adjustment method: Holm (1979)
# Observations: 490
<pre>

</pre>
## Regressão Linear Simples

reg_ir_sp <- dynlm::dynlm(price_adjusted ~ real_int, data = all_data)

summary(reg_ir_sp)

# Time series regression with "numeric" data:
# Start = 1, End = 490
#
# Call:
# dynlm::dynlm(formula = price_adjusted ~ real_int, data = all_data)
#
# Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -1.35722 -0.46678 -0.08593 0.46985 2.55749
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept) 7.18976 0.03080 233.43 <2e-16 ***
# real_int -0.31538 0.01154 -27.32 <2e-16 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 0.5842 on 488 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.6047, Adjusted R-squared: 0.6039
# F-statistic: 746.6 on 1 and 488 DF, p-value: < 2.2e-16
<pre>

</pre>
## Gráfico de Dispersão

ggplot(all_data, aes(x = real_int, y = price_adjusted))+
geom_point()+
geom_smooth(method = 'lm')+
labs(title = "Relação Taxa de Juros Real 10 anos - EUA x S&P 500",
caption = "Elaborado por analisemacro.com.br",
x = "Taxa de Juros Real",
y = "Índice S&P 500 - Log")
<pre>

Percebemos que há uma forte relação negativa. Bem como há significância estatística. Entretanto, isso realmente pode ser verdadeiro? Podemos aplicar testes no resíduos da regressão.

</pre>
# Teste Durbin Watson

lmtest::dwtest(reg_ir_sp)

# Durbin-Watson test
#
# data: reg_ir_sp
# DW = 0.16409, p-value < 2.2e-16
# alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

# Teste de estacionariedade do resíduos

tseries::adf.test(x = resid(reg_ir_sp))

# Augmented Dickey-Fuller Test
#
# data: resid(reg_ir_sp)
# Dickey-Fuller = -2.6773, Lag order = 7, p-value = 0.2916
# alternative hypothesis: stationary

# Analisa os resíduos

forecast::checkresiduals(reg_ir_sp)

# Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 10
#
# data: Residuals
# LM test = 419.75, df = 10, p-value < 2.2e-16
<pre>

Pelo relativo alto valor do R² (60%), significância do coeficiente de regressão a 5%, além de considerar a tendência de ambas as séries, bem como suas distribuições e autocorrelação, é possível considerar que tenhamos uma regressão espúria. Isso pode ser provado através da avaliação do erros do modelo acima, por meio da estatística Durbin-Watson,  da estacionária do resíduos com um teste ADF e uma avaliação gráfica.

Considerações

Apesar de encontrar relações entre as duas variáveis, não é possível afirmar que isso seja verdadeiro. Propõe-se avaliar se as séries são cointegradas, além de testar as séries em diferentes ordens de integração.

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